周跃佳

[摘  要] 教学要遵循最近发展区理论，循序渐进地开展连锁问题探究，逐步完善学生的认知结构.文章以高中数列的教学设计为例，在学生最近发现区内巧设引例，寻找知识的生长点，以旧换新，引导学生步步逼近下一个发展区.

[关键词] 最近发展区;生长点;数列

最近发展区理论是由苏联教育家维果茨基提出的教育发展观.他认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平;另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力.两者之间的差异就是最近发展区.教学应着眼于学生的最近发展区，在最近发展区内为学生提供递进式探索性问题，通过问题的逐一解决，开发学生的潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平，在此基础上再进行下一发展区发展.笔者以高中数列的“概念—表示—通项”的教学整体设计为例，从“扎根区”到“最近发展区”，再到“新区”，再到“特区”，设计连锁性探索问题，指导学生把握问题的关键点，发现知识的生长点，获得问题的解决点.

教学设计

1. “扎根区”——以函数作为数列的最初生长点

复习函数：（1）定义：非空数集A中任意一个数，在非空数集B中都有唯一确定的数与之对应，这种对应关系叫作函数.

（2）举例：

函数1：f（x）=2x-1，集合A為实数集R，集合B也为实数集R.

函数2：

函数3：f（x）=-2x，集合A为实数集R，集合B也为实数集R.

函数4：

函数5：f（x）=2x，集合A为实数集R，集合B也为实数集R.

函数6：

函数7：

函数8：某地新型冠状病毒肺炎患者每天治愈的人数.

函数9：

设计意图：从函数的角度自然过渡到数列的概念，这几个例子将作为后续研究的常用引例（新知识的生长点）. 著名的数学教育学家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个.”这几个引例，就好比蘑菇丛的中心位置.

2. “最近发展区”——以问题链作为数列概念的生长点

问题1：函数1、函数3、函数5和函数2、函数4、函数6、函数7、函数8、函数9的表达有什么区别？

回答：函数1、函数3、函数5是用解析法表达的，函数2、函数4、函数6、函数7、函数8、函数9是用列表法表达的.

问题2：将函数2、函数4、函数6、函数7、函数8、函数9归为一类，你能说明这一类函数的共同特征吗？

回答：这一类函数可以看作是定义在正整数集或其有限子集上的函数.

问题3：你能统一定义这一类函数吗？

回答：由于函数2、函数4、函数6、函数7、函数8、函数9都定义在正整数集或其有限子集上，故我们将自变量用小写字母n表示，那么每个n都对应着一个数an. 我们将这些数按顺序排列起来，如函数2中的函数值排列出来是1，3，5，7，9，11;函数4中的函数值排列出来是-2，-4，-6，-8，….

我们把这样的函数称为数列，数列是一种特殊的函数. 简单地说，数列就是按照一定的顺序排列的一列数. 数列的一般形式可以写成a ，a ，a ，…，a ，…，数列中每个数都叫作这个数列的项，a 叫作这个数列的首项，a 是这个数列的第n项.

Ⅰ级最近发展区：“萌芽生长区”——以上面函数引例中的数列作为数列表示法研究的生长点.

问题4：数列的表示有哪些方式？

（1）列举法：

{a }：1，3，5，7，9，11.

{b }：-2，-4，-6，-8，-10，-12，….

{c }：2，4，8，16，32，….

{d }：1，-1，1，-1，1，….

{e }：13，16，28，30，45，52.

{f }：3，3，3，3，3，3，….

设计意图：上例中含有数列分类和等差、等比的所有类型，为后续学习悄悄埋下伏笔.

（2）图像法：在平面直角坐标系中描出（n，a ）这些孤立的点.

（3）通项公式法：如果数列{a }的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.

数列{a }的通项公式：a =2n-1（n=1，2，3，4，5，6）.

数列{b }的通项公式：b =-2n（n∈N*）.

数列{c }的通项公式：c =2n（n∈N*）.

数列{d }的通项公式：d =（-1）n-1或d =（-1）n+1（n∈N*）.

数列{e }无通项公式.

数列{f }的通项公式：f =3（n∈N*）.

（4）递推公式法：给出数列的某一项及某两项之间的关系式来表示.如数列{a }：a =1，a =a +2是一个递推公式;数列{b }：b =-2，b =2b 是一个递推公式;除数列{e }外，都有递推公式.

设计意图：完成数列表示方法的系列探索，并为求数列通项公式和递推公式的后期研究创造生长点.

Ⅱ级最近发展区：“自然生长区”——以上面所表示出的数列作为数列分类研究的生长点.

问题5：数列可以怎么分类？请同学们观察问题4中“列举法”所展示的几个数列，分别研究以下两个小问题：

（1）这些数列各有几项？

（2）这些数列增减性如何？

设计意图：问题（1）引导学生按照数列的项数将数列分为有穷数列和无穷数列. 问题（2）引导学生按照项与项之间的大小关系将数列分为递增数列（{a }和{c }）、递减数列（{b }）、摆动数列（{d }和{e }）以及常数数列（{f }）.

Ⅲ级最近发展区：“繁衍生长区”——以数列{a }，{b }，{c }，{d }和{f }作为等差数列、等比数列的生长点.

问题6：请同学们分别观察数列{a }，{b }和{f }从第二项起的各项与前一项之间的关系.

设计意图：引导学生获得等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫作等差数列.这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示.

问题7：请同学们分别观察数列{c }，{d }和{f }从第二项起的各项与前一项之间的关系. 能否类比问题6的方式总结这类数列的特征？

设计意图：引导学生获得等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）.

3. “新区”——以等差数列、等比数列的概念作为等差数列、等比数列通项公式研究的生长点

问题8：等差数列{a }的首项是a ，公差是d，你能用a 和d写出{a }的通项公式吗？

回答：a -a =d，a -a =d，…，a -a =d，…. 所以a =a +d，a =a +d=（a +d）+d=a +2d，a =a +d=（a +2d）+d=a +3d，…，a =a +（n-1）d. 所以等差数列的通项公式为a =a +（n-1）d.

设计意图：取一般情况下的等差数列为例，以等差数列的概念为最近生长点，用定义推导出通项公式.

问题9：等比数列{a }的首项是a ，公比是q，你能用a 和q写出{a }的通项公式吗？

回答：类比等差数列通项公式的推导方法，可以推出等比数列的通项公式a =a qn-1.

设计意图：以等比数列的概念为最近生长点，模仿、类比等差数列通项公式的“生长”方式进行研究.

4. 特区：“新旧联系区”——建立等差数列、等比数列的函数思想

问题10：等差数列和等比数列分别是什么函数？

回答：等差数列的通项公式a =dn+（a -d）是关于n的一次函数，公差d是一次項系数，a -d是常数项. 等比数列的通项公式a =a qn-1是关于n的指数型函数.

设计意图：首尾呼应，建立起数列与函数的联系，揭示数列的本质.

教学思考

整个教学设计以“函数”为主线，从一般函数到特殊函数（数列）的自然过渡与探究，始终围绕学生的最近发展区，当学生达到上一水平（掌握函数）并及时“唤醒”后，在上一水平中找到生长点（特殊函数的研究），促进学生走入最近发展区（对这一类函数的归类、抽象提炼），并以问题链的形式引导学生步步逼近下一发展区（特殊数列的进一步研究并回归函数的本质）. 如果再往下一发展区走，将会步入等差数列、等比数列前n项和的研究. 而为什么要研究前n项和？它的最近发展区在哪里？如何找到生长点？这将是数列的下一个教学重点.问题是数学的心脏，它总是一个个地产生、一次次地带领我们向前一步，再向前一步.

教师在设计教学之前，必须清楚了解学生的原有认知结构，在原有认知结构中找到认知冲突或认知缺口，致使原有认知结构失衡，再以问题的形式引导学生步入最近发展区，在最近发展区内解决认知冲突或弥补认知缺口，使认知结构恢复平衡状态，从而进入下一发展区进行发展.我们的教学就是在这样一个循环往复的过程中进行的，教师需要常伴学生左右，动态了解学生的认知，不断促进学生的元认知，从而突破一个又一个发展区，帮助学生在完善基础知识、获得基本技能、体验基本活动的同时提升思维水平，培养数学学科核心素养，从而提高在最近发展区内自主发现问题、分析问题和解决问题的能力.