张伟琴

【摘要】中考复习课是以某一知识为基准，对知识和方法的内在联系进行横向网构，对蕴含的数学思想进行纵向剖析的课.其注重数学思想和方法的渗透.中考复习课围绕学生数学学科核心素养的发展需要，以提高学生的数学思维能力为核心，使学生掌握“四基” “四能”，达到讲一题、得一法，会一类、通一片的效果.

【关键词】中考复习课;核心素养;四基;四能

1 复习教学设计的思考

“直线与圆的位置关系”这节课用代数的定量来解决几何的定位.以问题带动复习，主线是d和r的不变和变构成的三种组合：（1）d定，r变;（2）d变，r定;（3）d变，r变.从架构上讲，这些问题非常合理，也符合学生认知规律，不仅有数学知识（用d和r的大小关系来判定直线和圆的位置关系） 这条明线存在，而且有数学思想与方法 （求解问题的“序”）这条暗线隐藏其中.所带班级的学生是B层学生，本节课先低起点，用题组1回顾激活基本模型结构，然后设置题组2，3，运用基本模型结构解决相关问题，最后设置题组4，在复杂情境中进行模型的转化.通过这样的逐步提升，不同水平层次的学生都能得到不同的发展.本节课问题设计系列化，就是将几个背景相似、角度不同、层次不同，但在解题思想方法上具有相似性或存在内在联系的几个问题组合在一起，作为一个系列展开.学生在经历由浅入深、层层递进的思维过程中，逐步体悟“建立求解问题的序”的精妙.题组教学体现了知識线索的有效串联和数学思想方法的有效渗透.

2 教学过程

2.1 用递进式题组构建知识和方法，落实易漏点和易错点

题组1：（d定，r变）如图1，已知∠AOB=90°，OB=3 cm，OA=4 cm，⊙O的半径为r.

（1）当r=2 cm，r=2.4 cm，r=3 cm时，判断直线AB与⊙O的位置关系.

（2）若把直线AB改为射线，当r为何值时，⊙O与射线AB只有一个交点？

教学流程：学生在备用图上完成，老师巡视，请学困生来回答.

老师点评：弄清两个元素，即圆心的位置和直线的位置.找到圆心到直线的距离，得到d，再比较d和r的大小.

若把直线AB改为射线，当r为何值时，⊙O与射线AB只有一个交点？

学生用几何画板，通过动手操作，发现还有一种可能，故答案为r=2.4或r>4.

师：除了相切的时候有一个交点，还要考虑另一种情况：由于我们给的是射线，射线就涉及一个端点，所以我们要考虑这个圆刚过端点A的情形.这样整个数轴就被2.4和4分成了三部分，我们将按04进行分类讨论，这样就不会遗漏了.

教学说明：

利用动态化教学手段弥补知识的缺漏和思维的不足，培养学生有效观察的习惯，这么做便于基础差的学生进行学习.

2.2 以探究式题组提升学生思维的深刻度

题组2：（d变，r定）如图2，已知∠AOB=90°，OB=3 cm，OA=4 cm，半径为1 cm的⊙C在边OB上运动.

（1）当OC等于多少时，⊙C与直线AB相切？

（2）把“⊙C在边OB上运动”改成“⊙C在射线OB上运动”，（1）的结果又是多少？

教学流程：教师让学生在备用图上完成.

（1）师：设⊙C与直线AB相切于点D，

方法1：S△AOC+S△ACB=S△AOB，即OC·AO2+AB·CD2=OB·AO2.

方法2：S△ABC=CB·AO2=AB·CD2.

以上都是用两种不同的方法来表示同一块三角形的面积，建立等量关系，构造方程.所以，当出现垂线段的时候，我们往往想到高，然后就和面积挂钩了.

方法3：已知条件在△AOB中，要求的未知量CB和半径1在△CDB中，两个三角形的问题，我们往往归结为是否相似，利用△CDB∽△AOB，相似三角形中的对应线段成比例，构造方程.我们也得到了一个相似的基本模型.

教师板书解题方法.

解题思路：

1.面积法 2.相似

（2）把“⊙C在边OB上运动”改为“⊙C在射线OB上运动”，那么OC等于多少呢？

生：由于得出的两个三角形是全等（△CDB≌△CDB）的，又BC=54，所以OC一个是3+54=174，另一个是3-54=74.

教学说明：

（1）同屏技术的运用：把学生在课堂中生成的知识实时上传，更重要的是少了很多板书，提高教学效率 .同屏技术有利于教师在课堂上诊断学习状况，也便于教师发现问题和解决问题.

（2）优化提升及反思：教师要适时引导学生探索一题多解，并对方法进行比较，从中挖掘通法通性.解题后的反思能让偶然的思维变成必然，零散的思考变得凝练.

2.3 题组教学把方法迁移到新情境中，使学生体会运动变化过程中的不变性

题组3：（d变，r变）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，P是AC上的动点（P不与A，C重合）.设PC=x，点P到AB的距离为y.

（1）求y关于x的函数解析式.

（2）试讨论以点P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围.

教学流程：教师巡视，同屏学生作品.

（1）设PD⊥AB于点D.

方法1：△PDA∽△BCA.

方法2：S△BPC+S△APB=S△ACB，

即PC·BC2+AB·PD2=CA·BC2.

方法3：S△ABP=CB·AP2=AB·PD2.

（2）试讨论以点P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围.

同学们先在备用图上试试看.

生：由y=x，得4（3-x）5=x，x=43.故当0

师：同学们，你们觉得这名同学做得对吗？

学生思考片刻，有同学指出，当⊙P与直线AB相交时取值范围不对，因为点P在AC上运动，点P不与A，C重合，所以43<x<3.

教学说明：

在连续的、螺旋式的系列问题探究中，将难点分散设计成有梯度的问题，减缓问题的难度，先求y关于x的函数解析式.这个y就是下一问中圆心到直线的距离d.随着问题的不断深入与发展，相切是一个等量关系，从而把函数问题转化为方程，让学生体会到方程就是函数当因变量y为一个数值时的特殊情况.

2.4 题组教学创设促进深度学习的真实情境，引导学生积极体验

题组4：如图4，在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，半径为3.点A（-7，9），D点是x轴上的一个动点，连接AD.

（1）若点D的坐标为D（3，0）.请直接写出此时直线AD与⊙O的位置关系.

（2）若直线AD和⊙O相切，求D点的坐标.

（3）当直线AD和⊙O相交时，求D点横坐标的取值范围.

教学流程：

生：问题（1）是相交.

师：问题（2）由相切得到什么？

生：垂直.

师：由点A的坐标如何转化成线段？

生：作点A到x轴的垂线段，点A到x轴的距离是9，到y轴的距离是7（如图4所示）.

师：我们是不是就把这个图转化成我们熟悉的基本图形了，我们要求什么？

生：D点的坐标.

师：要求什么，我们就设什么为x，刚才发现这里有一个相似的模型，它们的相似比是多少呢？

生：1∶3.

师：哪条线段可以用x表示出来呢？

生：AD=3x.

师：我们用什么来构造方程呢？

生：勾股定理.在Rt△AHD中，HD2+AH2=AD2，即（7+x）2+92=（3x）2.

师：此时得到点D的坐标是（5，0）.

師：其实还有一个点.在Rt△AHD中，HD2+AH2=AD2，即（7-x）2+92=（3x）2，得点D的坐标是-134，0.

师：当直线和圆相交时，点D的横坐标在什么范围？

大屏幕显示第（3）问：当直线AD和⊙O相交时，求D点横坐标的取值范围.

学生马上回答：-134<x<5.

师：对了，我们只要求出相切时的临界点，很快就可以得到相交时点D的横坐标的范围了.

小结：

教学说明：

（1）深度学习重视学习的迁移运用和问题解决，在相似情境中能够做到“举一反三”，也能在新情境中分析判断差异并将原则思路迁移运用.题组2.4教学创设促进深度学习的真实情境，引导学生积极体验，将新知识与已有的知识经验联系起来，在已有知识结构的基础上建构新知识.

（2）在题组2.4的教学过程中，教师给学生提供备用图，设置第一问，从简单处小步走，让所有学生都能够参与进来.教师适当给予学生必要的指导，使学生在不断解决困惑的过程中获得学习成功的体验.

（3）注重建立知识间的关联，提高学生知识运用的灵活性.这个过程解决了知识传授难度与学生认知水平之间的矛盾，学生本身已有的知识储备加上解决前面问题积累的经验，使学生再一次经受了问题考验，从而对这部分内容有了更透彻的感悟，有了更深入的理解.

（4）在小结提升环节，教师通过思维导图梳理本文教学过程，让学生对相关知识、方法和思维形成清晰的脉络，将经验结构化，进一步升华了活动经验，提升了学生的思维水平.