张嫌

【摘要】新课程基本理念指出：数学课程应致力实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.在新课程改革背景下，教师如何教、教学如何实施、学生如何学、如何提升学习效率是教师和学生面临的难题.本文通过讨论如何分层教学圆与相似这节复习课，回答上述问题，从而培养学生“用眼看、动脑想、大胆猜、严格证”的几何直观能力，让每名学生都有所收获.

【关键词】分层教学;圆与相似;教学设计

古希腊数学家毕达哥拉斯认为“一切平面图形中最美的是圆”.圆具有独特的对称性，同时具有较多的性质与定理.在教学中，教师应有意识地将圆与其他几何、代数知识进行横纵联系，形成知识体系，帮助学生感知数学内容之间的内在联系，从而达到整体性认识.本文依据圆与相似三角形的结合，让学生体会相似三角形在处理圆中求比例中项、等积式、线段长度的独到之处.

借鉴孔子提出的“因材施教”教学理念，以及王守仁提出的“随人分限所及”教育原则，教师在数学课堂中采用分层教学方式，让学生“人人皆学，处处能学，时时想学”.分层教学主要指教师根据学生的能力、兴趣和爱好等多方面的差异，进行分层次教学，以满足不同学生的发展需求.分层教学的指导思想：要求教师尊重学生的个体差异，甄选适合学生学习和发展的教学方式进行授课教学.分层教学主要包括学生分层、目标分层、教学分层、练习分层、评价分层、反思分层六个方面.

一、教材分析和学情分析（学生分层）

本文的教学设计内容是人教版九年级数学上“第24章圆”与九年级数学下教材中“第27章相似”的融合，是在学习了有关相似三角形和圆的知识的基础上，引导学生利用圆的性质，多角度寻找构成相似三角形的条件;掌握在圆中求比例中项、等积式、线段长度的方法;巩固圆与相似三角形的判定与性质，为几何证明提供一些方法;渗透转化、类比、数形结合、方程的思想，提升学生的逻辑推理能力，深入挖掘知识间的联系，发展学生的数学核心素养.

本文是在学生刚刚学完切线长定理的基础上进行的教学设计.九年级学生已具有一定的分析能力和逻辑推理能力，由于学生个体差异较大，所以为了尽可能关注到每一名学生的发展，教师宜采取分层教学手段：先将学生分层，根据范希尔几何思维理论，分析出各层次学生的几何思维水平，资优生分为A组（理论水平），中等生分为B组（描述水平），潜能生分为C组（直观水平），并在组内继续从低到高再排列.教师需要在分组上下功夫，多了解学生，关注到每一名学生.分组具体情况只有教师自己知道，避免有些学生知道分组情况后感到失落.教师可以告知学生组内人员情况不是固定不变的，而是灵活调整的，表现较好的同学可以向上一层移动，学生状态不佳的可以往下降一级，根据各个阶段的学习情况来决定，这样就会形成良性竞争的学习氛围.

二、教学目标（目标分层）

1.整体教学目标

知识与技能：根据圆的性质，了解圆中找相等角的方法，能在圆中运用这些方法识别相似三角形;掌握圆中相似三角形的几种基本模型，并能加以应用解决相关问题.

过程与方法：通过问题探究及思考，经历猜想、推理、验证等环节，抽象出圆中相似三角形的基本模型，尝试从不同角度解决问题并在反思中获得解决问题的方法.

核心素养：通过探究、思考、练习，培养学生“用眼看、动脑想、大胆猜、严格证”的几何直观能力;在知识迁移中体验转化、类比、数形结合、方程的数学思想，强化问题意识，培养学生的逻辑推理能力，增强思维的延展性，形成相应的思维链.

2.各个层次教学目标

A层：能将圆与相似三角形知识系统化，灵活应用圆中找等角的各种方法，学会多角度思考问题，能养成开放性、缜密性思维.

B层：熟练应用圆中找等角的方法，能在圆与相似的情境中求解线段长度、比例式、等积式，学会思考，提出见解.

C层：掌握圆与相似三角形的知识，学会在圆中找等角并能够识别圆中的相似三角形，理解知识间的联系.

三、教学重点

灵活应用圆的性质，发现圆中的相似三角形，掌握圆与相似的基本模型并能解决相应问题，学会圆中线段长度、比例式、等积式的求法.

四、教学难点

分析确定圆中的相似三角形，掌握圆中寻找相似三角形的方法.

五、教学方法

针对九年级学生的年龄特点和心理特征，结合学生的认知水平，以分层教学法为主，以练习法、类比探究式教学法为辅.

六、教学手段

希沃白板，PPT，三角尺.

七、教学过程（教学分层）

（一）课前练习及探究

圆的内容比较多，一开始讲圆与相似有些突兀.教师可借助问题引入，让学生在解答过程中遇到认知障碍，需要寻求新的解决方法，这时引导学生回顾三角形相似的判定方法、基本模型以及性质，从横向（平行、两角相等）、纵向（A字型、8字型、双垂模型）两个维度回顾旧知，再將圆与相似结合，从而为后面学习奠定基础.这样从学生的认知发展出发，过渡自然，易于学生接受.在练习过程中，教师可观察学生的完成情况，对不同层次的学生进行提问，检测各层次学生的掌握情况.

（二）思考

思考一：同弧或等弧所对的圆周角相等

如图1，△APC∽△DPB吗？

思考二：圆内接四边形一个外角等于它的内对角

如图2，△ADE∽△ACB吗？

思考三：由垂径定理找等角

如图3，已知BC是⊙O的直径，且AD⊥BC，△ABD∽△CBA吗？

你还能得到哪几个三角形相似？

【设计意图】教师在讲授完课前练习后，抛出这三个思考题，让三个层次的学生按提前分好的小组进行讨论交流（三个层次学生的座位是交叉的，一个A层次学生可带一至两个B，C层次学生，每个小组内有“领头羊”，讨论交流时要有组织地进行，每个组大概有五至六人），从中抽象出圆与相似的基本模型.随着知识螺旋上升，学生的形象思维上升到抽象思维.教师让学生体会在圆中找等角的方法，并且，在与相似三角形的对比中加深在圆中找相似三角形的思路，激活学生原有的认知结构，让学生在尝试探索中挖掘内在潜能，从而培养学生的发散性思维.

（三）典例精讲

教师带领学生理清几何证明思路，规范书写步骤，巩固复习切线的判定（有切点连半径、证垂直，无切点作垂直、证半径）及性质定理（有切点连半径得垂直），从分析法和综合法入手，发展学生的逻辑推理能力，灵活应用圆与相似的求解方法;教师从三个层次的学生中挑三名学生的作业在希沃白板上展示，检查他们的掌握情况，再挑选不同层次的学生回答问题，采用“说数学”的方法，利用出声思维，强化对概念的理解.对比三个层次学生间的差异，教师对学生的解答给予适当的评价.

（四）巩固练习（练习分层）

刚刚学完圆与相似三角形的知识，不同层次的学生掌握的情况也不同.学生使用的教辅大部分都进行了分类处理，即分为基础题、中档题、综合题，教师可以选择性地使用，针对学生分层次布置作业避免卷成海、题成宗.例题、习题的选择要根据学情确定，做到精致练习，这就减轻了学生的学业负担，学习效率自然而然也得到了提升.

（五）课堂小结

圆中找等角的方法：（做辅助线构造）

1.同弧或等弧所对的圆周角相等

2.由垂径定理找等角

3.结合三角形外角、内角等知识综合演绎

4.利用圆与相似三角形综合解题

【设计意图】教师引导学生对该内容进行归纳总结，让学生掌握圆与相似的综合解题思路，做到以不变应万变，真正领略其本质，使学生养成“学习—总结—反思—学习”的良好习惯，培养学生归纳、概括的能力.

八、评价分层

针对整个教学过程，教师根据学情对学生学习结果进行评价，做到评价分层.其主要分为三个阶段：一是过程性评价.每名学生是否都积极参与到学习活动中（可进行学生自评、互评，教师点评），掌握学生所采用的学习方法是什么，学到了什么程度.二是结果性评价.最后查看学生的巩固练习题完成情况，每个层次的学生是否均达到了预期目标.三是个别性评价.针对学生的学习情况将学生的表现进行分类，挑出几个特别的再评价.教师长期使用分层教学法教授时，应建立一个“学习动态档案”，记录学生的各个模块学习情况，然后点对点逐个提升.

九、反思分层

叶澜教授说：“一个教师写一辈子教案难以成为名师，但如果写三年反思则有可能成为名师.”可见教学反思的重要性.反思的內容很多，可以从教师的开放度、学生的参与度、教材的深透度三个方面进行思考，也可以从课前、课中、课后三个层面去思考，依情况而定.

该教学设计就“三度”来说，教师有的放矢，依据学情而定，设置小组讨论模式让每名同学都能参与课堂，关注到学生个体的差异性.教学内容的选取来源于教材又高于教材，从整体到局部;教学环节从知识的形成、建立到应用展开;教学目标设计从课程标准中来，到学情中去，安排布置比较完善，建立新旧知识间的联系，重点、难点均有体现.

为了能让学生积极参与，并且让不同层次学生在同一节课中都有所收获，教师可以在课前、课中、课后设置一定量的练习，既能随时检测学生的学习状态，又能开展课程，在练习中找到通性通法，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]王娅.高中数学分层教学的研究[D].武汉：华中师范大学，2018.

[3]罗新兵，王光生.中学数学教材研究与教学设计[M].西安：陕西师范大学出版总社有限公司，2011.

[4]李承兰.分层教学在中学数学课堂教学中的应用研究[J].数学学习与研究，2020（01）：30.