摘 要：本文以应用的视角，探讨基本不等式在求最值、证明不等式、解决恒成立问题、实际问题以及与其他知识点交汇的问题中的应用.

关键词：基本不等式;条件;高考;应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0064-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：廖永福（1962-），男，福建省仙游人，本科，中學高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

基本不等式结构简单，形式优美，它是高中数学的重要内容，也是高考数学的重要考点.应用时要依次满足条件：一正、二定、三相等，三者缺一不可.基本不等式是解决最值问题的有力工具，在解题中有着广泛的应用.

一、求最值

应用基本不等式求最值，关键在于构造两个正数之和（积）为定值，常用的方法有拆分法、配凑法、消元法和常数代换法等.基本不等式常用的变式有：（1）a2+b2≥2ab（a，b∈R）;（2）2（a2+b2）≥（a+b）2（a，b∈R）;

（3）（a+b2）2≥ab（a，b∈R）;（4）2（a+b）≥（a+b）2（a，b∈R+）等，灵活应用这些变式，有事半功倍之效.

例1 （2020·江苏）已知5x2y2+y4=1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是.

分析 思路一：由条件等式消去x2，可得x2+y2=15y2+45y2，符合两个正数15y2、45y2之积为定值，应用基本不等式可解.

思路二：由条件等式可得4=（5x2+y2）·4y2，它表明两个正数5x2+y2、4y2之积为定值，根据基本不等式的变式ab≤（a+b2）2（a，b∈R），可知5x2+y2与4y2之和有最小值.解法一（消元法） 由5x2y2+y4=1，得x2=1-y45y2.∵x2≥0，∴y2∈（0，1].

∴x2+y2=1-y45y2+y2=15y2+45y2≥215y2·4y25=45.

当且仅当15y2=45y2，即y2=12时，上式取“=”.

这时x2=1-y45y2=310，x2+y2的最小值为45.

解法二 （配凑法）∵4=（5x2+y2）·4y2≤（5x2+y2+4y22）2=254（x2+y2）2，∴x2+y2≥45.

当且仅当5x2+y2=4y2=2，即y2=12，x2=310时，上式取“=”.

∴x2+y2的最小值为45.故答案为45.

点评 本题考查应用基本不等式求最值，考查转化思想和运算能力.解法一思路朴实，过程直接.解题关键是消元.把目标代数式表示成关于y的函数，直接应用基本不等式求解;解法二构思巧妙，方法灵活，解题……