摘 要：椭圆经常出现在历年高考数学试卷的选择题或填空题中，借助椭圆的相关知识与其他知识加以交汇融合，破解时可以从平面解析几何自身角度出发，也可以借助平面向量、解三角形等相关工具，合理引领并指导数学教学与解题研究.

关键词：椭圆;平面向量;解三角形;焦半径;方程

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0002-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：曹晓琰（1981.8-），女，江苏省南通人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

一、问题呈现

问题 在椭圆C：

x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，F1，F2为椭圆C的左、右焦点，

图1

且焦距为23，O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，|OP|=24a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则橢圆C的标准方程为.

二、问题分析

要求解椭圆C的标准方程，就是确定参数a，b，c的值，而根据题目条件，可以建立起已知的关系式c=3，a2=b2+c2，那么只需要再找到一个关于参数a，b，c的关系式即可达到破解的目的.而根据题目中的条件，还可以得到相关的信息：|OP|=24a，|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，|PF1|+|PF2|=2a，如何整合这三个相关信息而转化为一个关于参数a，b，c的关系式，从而得以巧妙转化与破解.这就需要我们从已知条件入手，运用不同的数学知识，从不同的破解方向入手，通过知识间的灵活迁移，加以巧妙变形，灵活运用，整体代入.

三、破解方向

解法1 （平面向量的线性运算法）

由题可知PO为线段F1F2的中线，则有

PF1+PF2=2PO，

上式两边平方，可得|PF1|2+|PF2|2+2PF1·PF2=4PO2=12a2，

则有|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=12a2，

而结合余弦定理可得cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|，

代入上式有|PF1|2+|PF2|2+（|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2）=12a2，

整理可得2（|PF1|2+|PF2|2）-|F1F2|2=

12a2，由题知c=3，则有|F1F2|2=4c2=12.

又结合|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12，

利用椭圆的定义有|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|·|PF2|=4a2-24，

则有2（4a2-24）-12=12a2，解得a2=8，则b2=a2-c2=5，所以椭圆C的标准方程为x28+y25=1.

解法2 （平面向量的极化……