摘 要：本文通过针对一个椭圆常规练习题的抽象化研究和拓展探索，运用转化与化归思想，得出以圆锥曲线为载体的同类问题的一般性结论.

关键词：交点;韦达定理;线段乘积;斜率

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0067-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：许银伙（1963.9-），男，福建省惠安人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

转化与化归是高中重要的数学思想方法，它对于问题的思路探寻和简化运算有着不可估量的作用.本文通过针对一个椭圆常规练习题的拓展探索，运用转化与化归思想，得出在圆锥曲线中同类问题的一般性结论.

问题 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，且a，b，1依次为等比数列，其离心率为22，过点M（0，1）的动直线l与椭圆E交于A，B两点.

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）当AB=453时，求直线l的方程;

（3）在平面直角坐标系xOy中，若存在与点M不同的点G，使得GAMB=MAGB成立，求点G的坐标.

解析 （1）椭圆E的标准方程为x24+y22=1;

（2）所求直线l的方程为y=±x+1或y=±12x+1;

（3）设存在符合条件的点G，由已知条件和椭圆的对称性得点G必在y轴上，可设点G（0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

①当直线l斜率存在时，设l方程：y=kx+1，代入椭圆E得：（2k2+1）x2+4kx-2=0，Δ=32k2+8>0，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1.GAMB=MAGB等价于MAMB=GAGB，所以x1x2=x11+k2AGx21+k2BG，得：kAG=-kBG，即y1-y0x1=-y2-y0x2，则得y0=x1y2+x2y1x1+x2=x1（kx2+1）+x2（kx1+1）x1+x2=2kx1x2x1+x2+1=2，所以点G（0，2）.

②当直线l斜率不存在时，可得A（0，-2），B（0，2）或A（0，2），B（0，-2）.点G（0，2）代入可得GAMB=2，MAGB=2，符合.

综上得，符合要求的点G存在，且点G的坐标（0，2）.

评注 问题（3）的解决诀窍是利用对称性判断出所求点G必须在y轴上，然后把距离的乘积转化为横坐标和斜率的比，使其到两个交点的连线斜率互为相反数，或者到两个交点连线的倾斜角互补，再利用韦达……