摘 要：本文從学生角度出发，解决一个具体双曲线定值问题，探索求解一类定值问题的方法并进行了升华归纳;通过变式拓展过渡到定点问题并归纳其解题思路;横向延伸到椭圆定点定值问题并进行纵向探究，为教师解题和命题形成了一类问题模板.

关键词：定点;定值;变式拓展;类比

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0010-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：张海泉（1976.7-），男，江苏省泰州人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

本文先对2021年泰州三市三区高二数学期末统考一道试题的解法作些探究，再将试题进行纵向、横向推广与延拓，形成一般问题的解题思路，以期达到举一反三、触类旁通的教学效果.

一、试题呈现

题目 已知A，B分别是双曲线C：x2-y24=1的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线交于C，D两点，若直线AC与BD交于点P，求证：点P在定直线上.

二、解法探究

解析 设直线CD方程为x=my+5，C（x1，y1），D（x2，y2），联立x=my+5，x2-y24=1， 得（4m2-1）y2-85my+16=0.

其中y1+y2=85m4m2-1，y1y2=164m2-1 .

设lAC：y=y1x1+1（x+1），①

lBD： y=y2x2-1（x-1），②

由①②，得x+1x-1=x1+1y1·y2x2-1=（my1+5+1）y2y1（my2+5-1）=my1y2+（5+1）y2my1y2+（5-1）y1

=my1y2+（5+1）（y1+y2）-（5+1）y1my1y2+（5-1）y1

=16m4m2-1+（5+1）85m4m2-1-（5+1）y116m4m2-1+（5-1）y1=-（5+1）（-4（5-1）m+85m4m2-1+y1）（5-1）（4（5+1）m4m2-1+y1）=-（5+1）（4（5+1）m4m2-1+y1）（5-1）（4（5+1）m4m2-1+y1）=-5+15-1.

再由x+1x-1=55 ，解得x=55.

故点 P 在定直线x=55 上.

三、解后反思

本题是一道圆锥曲线中的定值问题，题目设计入口较宽，学生容易想到联立直线与双曲线方程求出两直线交点，转化为非对称的韦达定理形式求解.因题目设计的直线过焦点，所得交点P恰好在双曲线的准线上.很好地展示了双曲线的一个完美特殊性质.故学生易产生疑问：如果直线不过焦点是否也有类似的性质呢？

拓展1 已知A，B分别是双曲线C：x2-y24=1的左、右顶点，直线l过点N（n，0）且与双曲线交于C，D两点，若直线AC与BD交于点P，问点P是否在某定直线上？……