摘 要：对于圆锥曲线类问题，大多数学生都有一定的解题思路，但由于对知识理解不深刻，导致方法选择不当，从而运算不彻底，最终得不到正确答案.圆锥曲线中两直线斜率的乘积、和、比值为定值反映了曲线的本质，抓住这个关键，可以突破难点.

关键词：椭圆;斜率;定值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0080-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：贺凤梅（1979-），女，湖北省随州人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

一、题目呈现

题目 （2021年高三年级第三次诊断性测试 理科数学第20题）已知A，B分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点，过左焦点F（-2，0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当直线l与x轴垂直时，PQ=103.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，试问k1k2是否为常数. 若是，求出这个常数;若不是，说明理由.

二、总体分析

定点、定值是圆锥曲线中的常见问题，问题的呈现形式有：以两直线斜率乘积、和、比值为定值引出的直线过定点;或已知直线过定点，能否得出两直线斜率之积、和或比值为定值. 本文拟以直线过定点，两直线斜率比值为定值进行多视角探究，旨在理清问题的本质，找到解决此类问题的行之有效的方法.

三、试题解答

第（1）问，易求得椭圆C的标准方程为x29+y25=1.

以下重点探讨第（2）问.

视角1利用直线的普通方程求解.

解法1 设直线l的方程为x=my-2，代入x29+y25=1，整理得（5m2+9）y2-20my-25=0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=20m5m2+9， ①

y1y2=-255m2+9. ②

由①②，得y1y2y1+y2=-54m，

即my1y2=-54（y1+y2）. ③

由题设及第（1）问可得A（-3，0），B（3，0），k1=kAP=y1x1+3，k2=kBQ=y2x2-3.

所以k1k2=y1x1+3·x2-3y2=y1[（my2-2）-3][（my1-2）+3]y2=my1y2-5y1my1y2+y2.

将③代入得k1k2=-54（y1+y2）-5y1-54（y1+y2）+y2=25y1+5y25y1+y2=5.

所以k1k2=5.

解法2设直线l的方程为y=m（x+2）（易知m≠0），代入x29+y25=1，整理，得 （9m2+5）x2+36m2x+36m2-45=0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-36m29m2+5， ④

x1x2=36m2-459m2+5. ⑤

由解法1，k1=kAP=y1x1+3，k2=kBQ=y2x2-3.

所以k1k2=y1x1+3·x2-3y2=m（x1+2）（x2-3）（x1+3）·m（x2+2）=x1x2+2x2-3x1-6x1x2+3x2+2x1+6=x1x2-3（x1+x2）+5x2-6x1x2+2（x1+x2）+x2+6，

将④⑤代入，化简整理，得

k1k2=5[18m2-15+（9m2+5）x2]18m2-15+（9m2+5）x2=5.

所以k1k2=5.

評注 以上两种解题方法均……