曹树宏

【摘要】压轴题的命题通常以知识生长结构为导向，逐步引导学生深入思考问题，打通条件与结论之间的道路，通过知识关系链的逻辑环环相扣，建立一条思维链，从而找到问题的解决方法.这样命题设计起点低，立意高，又遵循学生思维从最近发展区走向未知发展区，不仅能考查学生的综合能力，同时能检验和落实核心素养教学，是对深度学习效果的体现和延伸.

【关键词】命题立意;知识生长结构;核心素养;指导教学

一、题目来源

（2020杭州第23题）如图1，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF.

（1）设⊙O的半径为1 ，若∠BAC=30°，求线段EF的长.

（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P.

① 求证：PE=PF.

② 若DF=EF，求∠BAC的度数.

本题文字不多，但信息量较大，条件比较丰富，有圆，有中点，有垂直，有特殊角，还侧重考查几何的图形本质属性;以教材基本图形为知识生长点，架设知识生长结构.问题（1）主要就是特殊角条件下的解三角形问题，而且包括等腰三角形及直角三角形，比较容易找到思路.

本题中蕴含了丰富的基本图形，不仅有中位线模型，还可以提炼出三角形比例线段基本图形，正方形模型等.

二、问题内涵

（一）从特殊到一般

特殊性1：在问题（1）中，条件是“⊙O的半径为1，∠BAC=30°”.实际上考查两个基本知识点：（1）直径所对的圆周角是90°;（2）含30°角的直角三角形性质.问题（1）的设计不仅能让更多学生体会到成功的喜悦，还为学生继续解决问题搭建了信心，是后续问题解决的知识生长点，以此为基础架构知识生长结构.

问题（2）是以“OE⊥AB”联想垂径定理，以“点F是半径OC的中点”联想中点作用，为知识生长点逐渐展开自己的知识结构.

特殊性2：圆是数学中最常见的图形之一，它既是轴对称图形也是中心对称图形，圆心和直径是圆这一图形的核心要素， 充分利用这一特性编制问题，能更好地考查学生对图形本质的认识.以图形的特性为生长点架构知识生长结构，寻找位置关系和数量关系是一条思维主线.

在问题（2）的解决中，利用对称性就能启发解决问题的思路.问题（2）是一个动态图形，但题目条件“已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF.”决定了PE与PF的关系不变.学生要在动态图形中发现并证明这一事实，必须能分析出“动态图形中不变的量或关系”，容易联想“中点”，从中点的作用入手找解决问题的方法.

（二）从静态到动态

在分析一个几何问题时，我们往往先着手观察和分析图形是“静态”还是“动态”.对于“静态图形”问题处理起来比较容易，各位置的量是不变的，通常直接计算或证明，利用勾股定理或图形基本性质就能完成;对于“动态图形”需要分析点动、线动或形动，平移、旋转、翻折等图形变换.

问题（1）中，形状大小是静态的，即圆的大小不变，△ABC是含30°且斜边为2的直角三角形不变，但是可以绕圆心旋转，整体是动态的.不影响计算，因为三角形与圆的相对位置是静态的.

问题（2）显然是动态图形，关注∠BAC的变化给图形带来的变化，问题显然复杂起来，但是线段上中点位置是不变的，即点E相对于AB，点F相对于OC，点O相对于直径AC与BD的位置都是不变的，这便是思考入手点，也是知识结构的生长点.

（三）从虚拟情境到实际情境

圆的情境往往是“虚拟”的，也就是说问题的本质落实在三角形问題上，只要把握这一认识，我们就可以在处理“圆”情境问题中做“减法”.比如可以将例题改编如下：

如图2，已知线段AC，BD互相平分交于O点，且AC=BD.连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是OC的中点，连接EF.

（1）设OC=1 ，若∠BAC=30°，求线段EF的长.

（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P.

① 求证：PE=PF.

② 若DF=EF，求∠BAC的度数.

这样改编之后，思考进程丝毫不受影响，问题情境简化，学生从“虚拟”圆情境回到真实的三角形问题情境中，反而有利于思考并找到解决方法.

三、知识生长点

教师要深层次地寻觅思维活动轨迹，高标准地架设知识生长结构，才能教给学生具有生长力的数学，数学教学才能迸发出无与伦比的生命力量.

在解决问题（2）时，学生遇到很大的障碍，究其原因，是学生习惯把握方法，而忽视“知识生长点”寻源.问题（2）要证明相等的两条线段在一条线上且共端点，显然不能用熟悉的三角形知识去证明相等，学生的思路或方法容易受阻，这时就应该回忆平时见到这类问题的场景，搜索其他“结构”，探寻知识生长点，把握知识生长脉络，找到平行四边形或相似三角形来解决问题.

知识生长结构图如下：

（一）生长点示例

生长点1：能否证明PE与PF两条线段所在三角形△OEF或△BEF是等腰三角形？进而利用三线合一证明.（没有条件）

生长点2：能否证明PE与PF两条线段所在两个三角形全等？（没有发现）

生长点3：能否证明PE与PF两条线段为两个共斜边直角三角形的斜中线？（没有发现）

生长点4：PE与PF两条线段能否通过第三条线段等量代换？（无法搭建第三条线段）

生长点5：能否证明PE与PF两条线段所在两个三角形等高且面积相等？（有想法，有待分析）

生长点6：能否证明PE与PF两条线段为三角形相似的比例线段？（通过等量代换）

生长点7：能否证明PE与PF两条线段是一个平行四边形的对角线？（构造平行四边形）

生长点8：PE与PF两条线段能否通过平行线等分线段来证相等？（构造一组平行线）

生长点9：能否通过中位线证明？（构造模型图形）

（二）几种典型做法

方法1 利用生长点6

如图4，过O作OG∥PE，交AB于G点，由OF∶OA=1∶2，得AG∶GE∶EB=2∶1∶3，再得OG∶FE=2∶3，PE∶OG=3∶4，得PE=PF.

问题（2）第②小题设计意图更是强化核心素养的考查，学生需要做到以下几点：（1）重新甄别图形的变化;（2）构造正确图形，提高画图能力;（3）由线相等带来角度的变化（问题逆向设计）;（4）由“平行线等分线段”产生“位置关系转化为数量关系”的知识结构.

分析：

由已知条件得到一个不变的关系量“FE=FB”是解决问题的关键.

如图8，过点F作FG⊥AB交AB于G点，可得OE∥FG∥CB.

因为OF=CF，所以EG=BG，则FE=FB.

又因为FD=FE，所以FB=FD.

因为OD=OB，所以FO⊥BD.

所以△AOB是等腰直角三角形，所以∠BAC=45°.

其实，由此题条件“FD=FE”就把图形从动态又转化为静态，此时两条直径互相垂直.这又可以回到基本模型上分析问题，充分把握FD=FB这一推想，问题迎刃而解.

在上述问题解答中，学生的思维不断进行自我修正，以便找到自己曾经解决过得类似问题，沿着“知识生长线”这条路径，思路慢慢打开，就能顺利进行下一步.

四、问题立意 指导教学

（一）以概念为本 铺设知识生长点

数学作为一种概念性语言，天然就适合开展概念为本的教学.平时我们只是在做数学，而没有理解“做”的东西，这种传统教学将数学当作一种程序和技能来教，并直接假定学生已经获得概念性理解，而不是朝着概念性理解去教.概念为本的课堂教学中，更应将教学延伸至引导学生理解那些支持技能的概念性关系.

例如，在初三复习课中学习“中位线”时，要理解支持这个概念的是“全等三角形”“平行四边形”“图形旋转变换”“相似三角形”等知识，这样学生的思维建立起了知识网络，在观察图形和分析图形时，就有了视角，也有了发展和迁移的能力.

例如，如图9，已知在△AEF中，E是AB的中点，O是AF上一点，且OF∶OA=1∶2，求证：PE=PF.

初三的学生对这个问题是比较熟悉的，但做好上述工作，学生有了前置概念的学习，容易产生以下解决问题的视角.

学生视角1：作平行线，构造中位线.

学生视角2：作平行线，构造全等三角形.

学生视角3：作平行线，用相似知识.

学生视角4：作平行线，利用面积关系.

（二）通过变式教学，架设知识生长结构

“单一的知识”发展到“复杂的问题”正是深度学习的要求， 我们有必要拓展对学习本质的认识，深入探寻学习和发展的内在机理，通过推动有意义的学习实践来发展个体与复杂情境互动的综合能力，从根本上把握并实现核心素养.

教学变式举例

变式1：如图10，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F.

（1）求证：AF=FD;

（2）求证：FC=3EF.

变式2：如图11，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接BE，DE.F为BC上一点，且∠EFC+∠EDC=180°.

（1）求證：EB=EF;

（2）求证：AE∶EC=1∶3.

教师在教学中，要加强单元整体学习模式，形成一条知识链，这样有利于学生思考问题的连续性和整体性，思维不容易断.我们要认识到学习知识产生于发展过程，架设了知识结构，形成思维链，在结构的路线上或末端总能结出硕果.

【参考文献】[1]卜以楼.“生长数学”：数学课堂教学的愿景[J].江苏教育·中学教学版，2017（2）.

[2][3]林恩·埃里克森，洛伊斯·兰宁.以概念为本的课程与教学：培养核心素养的绝佳实践[M].鲁效孔，译. 上海：华东师范大学出版社，2018.

[4]肖思汉，雷浩.基于核心素养的课程建构[M].上海：华东师范大学出版社，2018.

[5]刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养（理论普及读本）[M].北京：教育科学出版社，2018.