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基于APOS理论的一致连续函数概念教学探析

2021-03-28王俏敏

数学学习与研究 2021年8期
关键词:定义

王俏敏

【摘要】函数的“一致连续性”是数学分析中极具抽象性的一个基本概念,而函数一致收敛性概念本身的强抽象性导致学生在理解上有一定的困难.本文以APOS理论为依据,设计数学概念教学的四个阶段:(1)创设问题情境,引出新知识;(2)展示探究过程,理解概念;(3)构造对象实体,把握概念性质;(4)建立深层图式,形成概念体系.希望能帮助学生理解一致连续函数这一抽象概念.

【关键词】APOS理论;连续函数;一致连续函数;ε-δ定义

一、引 言

函数的“一致连续性”反映了函数在某一给定区间上的整体性质,是数学分析中极具抽象性的一个重要概念,它有助于研究函数的变化趋势及性质,同时在微积分以及其他学科中常常被用到,是微积分学的理论基础.

二、APOS理论

APOS理论坚持一个原则,即一个数学概念的本质与它在个人头脑中的发展有着密切的关系.根据APOS理论,个体依序建构了心理活动、程序和对象,最终组织成用以理解问题情境的图式结构.

操作阶段是指个体或学习者通过一步一步的外显性(或记忆性)指令去变换一个客观的数学对象,一个数学概念就开始形成了.

过程阶段是指当一个人重复和反思一个行为时,它可能内化为一个心理过程.过程是一种心理结构,它执行与内化的活动相同的操作,但完全在个人的头脑中,因此使她或他能够想象执行转换而不必外显式地执行每个步骤.

对象阶段,如果个体或学习者意识到一个过程是一个整体,意识到转换可以作用于这个整体,并且可以构造这样的转换,那么我们说个人已经把这个过程压缩成一个认知对象.

图式阶段,虽然这些结构描述了个体如何构建单一转换,但一个数学主题通常涉及许多动作、过程和对象,需要将它们组织起来并连接到一个紧凑的框架中,这个框架就是图式.

三 基于APOS理论的函数一致连续性的教学设计

操作阶段——创设问题情境,引出新知识

第一步:复习函数在某点连续的概念,根据定义证明下题.

定义1 设函数在某邻域U(x0)上有定义,若对任意的ε>0,存在δ>0,使得当|x-x0|<δ时有|f(x)-fx0|<ε,则称函数f(x)在点x0连续.

例1 证明函数f(x)=1x在区间(0,1)上连续.

证明 任取x0∈(0,1),对任意的ε>0,由于x→x0,不妨限制x-x0x02.要使f(x)-fx0=1x-1x0=x-x0xx0<2x20x-x0<ε,只需取δ=min x02,x202ε,则当x-x0<δ,总有|f(x)-fx0|<ε,故f(x)在x0连续.由x0的任意性可知f(x)=1x在区间(0,1)上连续.

教师引导学生复习和总结:在这个定义中关键是理解δ的存在性,能否理解δ的存在性、找到合適的δ是学生对函数连续性理解出现层次分化的一个关键点.在复习旧知识的过程中出现了一个应用连续函数定义证明的过程,这实际上是连续函数的图式阶段.APOS理论强调了个体现有的数学概念图式在新知识建构中的重要作用.

第二步:新的问题情境,引出新知识——函数的一致连续性.

问题1:对于定义1中的δ,如果固定ε,那么对于不同的x0,δ是否一样?

借助曲线f(x)=1x的图像,取两个不同的点x1,x2,其中x1靠近x=0点,x2远离x=0点,同时保证|f(x)-f(x1)|<ε,|f(x)-f(x2)|<ε,即函数值的变化范围都为ε.如此容易观察出在两点处所对应的δ不同,δ的取值除依赖于ε之外,还与点x有关.这样的实例使学生认识到在某点连续的概念中所存在的δ的大小不仅依赖于ε而且依赖于点x的位置.此处教师可借助几何画板等软件以动态的形式展示出来,帮助学生获得直观的认识.

问题2:既然每一个x都有相应的δ与之对应,那么如果x取遍整个区间I,是否会存在一个公共的δ>0,使得对任何x′,x″∈I,只要|x′-x″|<δ,就有|f(x′)-f(x″)| <ε呢 ?

学生容易从图像中发现,当x∈(0,1)时,x越趋近于0,函数值变化越大,而且δ越来越小且无限接近0,即找不到公共的δ>0,也即对于例1中的连续函数来说,找不到一个公共的δ>0,使得对任何x′,x″∈I,只要|x′-x″|<δ,就有|f(x′)-f(x″)| <ε.

问题3:是否存在“使δ的取值只与ε有关而不受x0的位置限制”的连续函数?引出函数一致连续(较强的概念)的定义.

根据APOS理论,在操作阶段,学生需要完成一系列外显的指令来改变数学对象,而函数的一致连续性这个数学概念的形成,是对已有数学概念——函数连续性的进一步抽象概括.所以,教师首先从函数的连续性复习引入,并且在此阶段,创设了一系列的问题情境,通过问题情境的呈现让学生感受新概念,引起学生对新概念的思考,为后续获得函数一致连续性概念打好了基础,同时为进入APOS的下一阶段做好认知准备.

过程阶段——展示探究过程,理解概念

第三步:通过具体问题形成对函数一致连续性的直观认识.

问题5:我们找到了这样一个连续函数,δ的取值不受x0的位置限制而只与ε有关,那么是否能找到问题2所说公共的δ>0呢?

学生经过上一阶段对公共的δ>0的寻找,可以直接在脑海里想象到f(x)=1x在[c,+∞)(c>0)的图像相对平缓,而且经过上一阶段的动态展示,对该函数图像有了了解,可以明确当x越靠近c(c>0)时,函数值变化越大,同时δ越来越小,但在接近0的同时会存在一个最小值,也就是可以找得到公共的δ>0.

此时可以借助数形结合思想向学生说明公共的δ(ε)的含义.我们不妨就此问题进行讲解:在例2中,δ除了可以取最小值δ0=c2ε外,还可以取δ1=2c2ε,δ2=3c2ε,…,而c2ε是最小值,不难发现,当|x-x0|<δ0<δ1<δ2<…时,有|f(x)-f(x0)|<ε.

依据APOS理论,在过程阶段,学生借助几何直观,对特定函数图像进行观察、比较、分析、归纳等一系列的数学活动探究过程,可以从具体的外显观察活动过渡到内隐的抽象分析过程,加深其对函数一致性概念本质的认识和理解.

对象阶段——构造对象实体,把握概念性质

第四步:形成對概念的整体认识,把握概念的实质,赋予严格的形式化和符号化定义.

问题6:类比连续函数的ε-δ定义,给出函数一致连续性的定义.注意:此时的两点是任意两点,δ是适合于I上所有的点x的公共区域.

定义2 设f(x)为定义在区间I上的函数.若对任意的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得对任何x′,x″∈I,只要|x′-x″|<δ,就有|f(x′)-f(x″)|<ε,则称函数f(x)在区间I上一致连续.

第五步:通过举例证明,巩固概念理解.

问题7:你能用准确严格的数学符号语言表达函数非一致连续的定义吗?

定义3 设f(x)为定义在区间I上的函数.若存在一个ε0>0,对任意的δ=δ(ε)>0,存在x′,x″∈I,且|x′-x″|<δ,有|f(x′)-f(x″)|≥ε0,则称函数f(x)在区间I上非一致连续.

根据APOS理论,在对象阶段,学生需要判断函数的一致连续性和非一致连续性,故应该对上一阶段抽象出的概念的一些本质特征“公共的ε>0,对于任意两点,只要它们的距离小于δ=δ(ε),就可使|f(x′)-f(x″)|<ε”赋予形式化和符号化的定义——定义2,进而使它压缩成为一个具体的对象,然后学生运用它来判断(非)一致连续性或一致连续性的性质等.

图式阶段——建立深层图式,形成概念体系

第六步:总结连续与一致连续的关系与区别,构成知识网络.

问题8:用类似于定义2的表述方式给函数在区间连续下定义,从对比的角度深入理解两个概念.

定义4 设函数f(x)在区间I上有定义.任取x0∈I,若对任意的ε>0,总存在δ(ε,x0)>0,使得当|x-x0|<δ时,有|f(x)-f(x0)|<ε,则称函数f(x)在区间I上连续.

(1)函数一致连续性是一个整体概念,而连续性是局部概念.

(2)函数一致连续性可推出函数连续,但函数连续不一定一致连续,因此一致连续性是更强的概念.

(3)两个概念的本质区别在于δ,一致连续定义中存在的δ与x∈I的选取无关,是公共的,而连续性概念中的δ与所选取的x∈I有关.也就说如果能找到公共的δ,则连续性进一步转化为一致连续性.

根据APOS理论,在图式阶段中,学生需要建构新概念与已有概念之间的联系.在此阶段,学生对连续性与一致连续性进行联系与比较,而学生之前已经将连续性与函数极限等概念形成了联系,进而对概念又有了进一步深入的理解,并构成图式,为后续新概念的学习作好准备.

从认知心理学的角度出发,APOS理论揭示了学习者主动建构数学概念的过程,展示了学生理解数学概念的认知发展阶段,因而本文运用APOS理论对函数一致连续性概念进行教学设计分析,借此帮助学生学习复杂的或抽象的数学概念,弱化学生在学习理解过程中遇到的思维障碍点,进而让教师可以更具针对性地进行教学.

【参考文献】[1]彭艳芳.关于函数“一致连续性”的教学探究[J].黄冈师范学院学报,2017(6):65-67.

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