季彬

[摘  要] 以抛物线为背景的综合题具有知识点多、形式多样、图像复杂等特点，在解题探究过程中要注重思维过程、方法构建以及解题反思. 文章将以一道抛物线综合题为例进行问题探究、解后反思，并提出教学建议，以期与读者交流分享.

[关键词] 抛物线;三角形;相似;面积;变式;反思

问题探究

1. 问题呈现

问题：在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式为y=-x2+bx+3，与坐标x轴相交于点A和B，与坐标y轴交于点C，且抛物线的对称轴为x=-2，点P（0，t）是y轴上的一个动点.

（1）求抛物线的解析式，以及顶点D的坐标;

（2）如图1所示，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式;S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值.

（3）如图2所示，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，请求出点P的坐标;若不相似，请说明理由.

2. 思路突破

分析：第（1）问为传统的抛物线基础知识问题，由抛物线的解析式即可表示出对称轴，构建条件列方程即可求出b值，对抛物线解析式进行配方变形即可求出顶点D的坐标.

第（2）问为抛物线中图形的面积问题，所涉三角形的形状一般，可通过面积割补的方法构建模型，再利用函数性质求出面积最小值.

第（3）问的难度较大，解析三角形相似可采用“点坐标推导——性质验证”的思路.

解后反思

上述为二次函数综合题，考查了二次函数的性质、三角形的面积公式、三角形相似等知识. 深刻理解题干条件，把握图像特征，数形结合构建解题思路是关键. 考题的难度相对不大，在完成……