汪一敏

在小学数学教学中，常有一些说法似是而非，甚至错误。数学教师对此须有清晰的认识，才能更好地服务于教学。

一、那不是圆面积公式的推导证明——对圆面积公式推导、证明的误解分析

教材对圆面积公式来历的处理，引起不少教师的误解。他们认为那就是圆面积公式的推导和证明，并依此认识展开教学，这样难免以讹传讹。

对圆面积公式的推导证明，可追溯到欧几里得和阿基米德时代（约公元前300 —前212年）。在《几何原本》12卷的命题2里，欧几里得使用穷竭法和双重归谬法证明了“诸圆彼此之比，等于在其直径上作出的正方形之比”，说两个圆的面积之比等于它们内接正方形的面积之比，由于正方形的面积比等于它们对角线的平方比。即

[Ss=D2d2]

这里的S、s、D、d分别表示两圆的面积和直径。

在此基础上，阿基米德（欧几里得的学生）用穷竭法和双重归谬法证明了圆面积的计算公式：

[S=12R?C]（R是圆的半径，C是圆的周长）

把欧几里得的结论与阿基米德的结论联立起来即可推出 [Cc=Dd] →  [CD=cd]。至此，人们知道了圆周率——圆的周长和其直径的比是一个常数。最早的圆周率的近似值由阿基米德计算得出。

近代人们对圆面积公式推导证明的工具是微积分。

圆方程：x2+y2=r2

[14] 圆面积：[0rr2-x2]dx = r2[0π2cos2tdt]  （第二换元法）

=[ 14]πr2 ，

圆面积：S=πr2。

定积分的基础是极限理论，极限理论是建立在严密逻辑基础之上的，并不是非专业人士想象中的“极限思想”。

小学数学教材中在推导证明圆面积公式时提出对圆面进行分割（如图1），拼接成一个近似的长方形，在等分的份数越来越多的情况下，近似的长方形越来越接近长方形，其宽为r，长为πr（圆周长的一半），面积为πr2，因此我们有理由推测圆面积计算公式为πr2。……