汪一敏

在小学数学教学中，常有一些说法似是而非，甚至错误。数学教师对此须有清晰的认识，才能更好地服务于教学。

一、那不是圆面积公式的推导证明——对圆面积公式推导、证明的误解分析

教材对圆面积公式来历的处理，引起不少教师的误解。他们认为那就是圆面积公式的推导和证明，并依此认识展开教学，这样难免以讹传讹。

对圆面积公式的推导证明，可追溯到欧几里得和阿基米德时代（约公元前300 —前212年）。在《几何原本》12卷的命题2里，欧几里得使用穷竭法和双重归谬法证明了“诸圆彼此之比，等于在其直径上作出的正方形之比”，说两个圆的面积之比等于它们内接正方形的面积之比，由于正方形的面积比等于它们对角线的平方比。即

[Ss=D2d2]

这里的S、s、D、d分别表示两圆的面积和直径。

在此基础上，阿基米德（欧几里得的学生）用穷竭法和双重归谬法证明了圆面积的计算公式：

[S=12R?C]（R是圆的半径，C是圆的周长）

把欧几里得的结论与阿基米德的结论联立起来即可推出 [Cc=Dd] →  [CD=cd]。至此，人们知道了圆周率——圆的周长和其直径的比是一个常数。最早的圆周率的近似值由阿基米德计算得出。

近代人们对圆面积公式推导证明的工具是微积分。

圆方程：x2+y2=r2

[14] 圆面积：[0rr2-x2]dx = r2[0π2cos2tdt]  （第二换元法）

=[ 14]πr2 ，

圆面积：S=πr2。

定积分的基础是极限理论，极限理论是建立在严密逻辑基础之上的，并不是非专业人士想象中的“极限思想”。

小学数学教材中在推导证明圆面积公式时提出对圆面进行分割（如图1），拼接成一个近似的长方形，在等分的份数越来越多的情况下，近似的长方形越来越接近长方形，其宽为r，长为πr（圆周长的一半），面积为πr2，因此我们有理由推测圆面积计算公式为πr2。

但这只是猜测，不能看作是圆面积公式的推导证明。近似长方形的长在无限分割下的极限一定是πr吗？事实上，要确定此极限，并不比求圓面积公式简单。

大家知道，（数学上）猜想的结论不一定正确。图2中的小半圆直径相同，设AB=2r，则每个图中的小半圆周的和都是πr，当小半圆的直径越来越小时，AB之间由小半圆周形成的“波浪线”将趋于线段AB。那么AB应该等于πr，但AB=2r，因此不能断定圆面拼成的近似长方形的长的极限是πr。

那么教材对圆面积公式的处理起什么作用呢？如果我们在教学中直接告诉学生（或讲一些圆面积公式的小故事），说圆面积的计算公式是πr2，学生是理解不了的。

因此，教师仍可大胆使用教材中处理圆面积公式的方法，但千万不要信誓旦旦地说，这就是圆面积公式的推导证明。

二、一张长方形纸是不能卷成圆柱的——对教学小实验究竟如何进行科学改良的说明

人教版教材六年级下册“圆柱”单元例1（P18）中说：“圆柱是由3个面围成的。圆柱的上、下两个面叫作底面，圆柱周围的面（上、下底面除外）叫作侧面。”而教材第30页上的习题15是这样的（如图3）。

也许是受教材的影响，有教师在“圆柱的侧面积”的教学中，考虑到动手性和可视性，设计了小实验：把一张长方形的纸横着或竖着卷起来，可以卷成什么形状？之后又将此小实验改为：把一张长方形的纸横着或竖着卷起来，分别卷成最大的圆柱，观察圆柱和长方形的关系。该教师以期让学生通过动手操作，感受图形在二维、三维空间的变化，了解长方形和圆柱的关系，培养学生的空间观念。

编撰一个数学习题（问题），要求之一是“习题的陈述要准确、严谨、无歧义”。把一张长方形的纸横着或竖着卷起来，可以卷成什么形状？怎么卷呢？可卷的形状太多了，因此只能“想当然”地卷。

改过后的小实验，同样存在问题，一张长方形的纸，能卷成圆柱吗？显然卷成的不是圆柱。该习题违反了习题编撰的另一要求：“习题中出现的概念、术语，必须是定义的。”这种卷成的“圆柱”没有被定义。这样就使教学走入了怪圈，一方面教师要培养学生的空间想象力，另一方面学生的空间想象力遭到了扭曲。

洞悉教材习题的问题后，教师可将小实验改为：把一张长方形的纸横着或竖着卷起来，使之成为一个圆柱的侧面，观察圆柱和长方形的关系。

（杭州师范大学教育学院   310000）