郑建伟

摘 要：圆是一个曲线图形，探索它的面积公式可以使学生进一步体会“转化”的思想方法，但反观课堂教学，却困难重重。笔者从学情前测、数学本质、教材教法三方面梳理体系，并提出“经历估测、联想推理、多元转化”三条策略，从而落地“转化”思想，促进学生空间观念的不断提升，提高数学素养。

关键词：圆的面积;度量;转化

《圆的面积》是人教版小学数学六年级上册内容，属于图形与几何领域。圆是学生研究的第一个曲线图形，也是学生在小学阶段所学习的最后一种平面图形，探索它的面积推导过程显然比直线围成的图形要难，包括：转化方式想不到、化曲为直难理解、极限思想无体验。用直观的“有限等分”去想象抽象的“无限等分”，思维跨度较大，极限思想对小学生而言看不见、摸不着，又要求学生在短时间内理解和掌握，其中的困难不言而喻。

这些问题无不反映出数学思想的缺失。课堂上如何落实“转化”思想，笔者从数学本质、教材教法、学情前测三方面进行梳理求本，并从“估测验证、联想推理、多元转化”三个策略入手，让学生理解掌握圆面积的推导过程，实现空间观念的提升和转化思想的落地。

一、梳理体系，溯本求源

（一）基于理论，把握概念本质

什么是圆的面积？笔者通过查阅现行的数学教材与《解析几何》《几何原本》等相关著作，发现有关“圆面积”有多种不同的表述方式，在教材中的定义通常有两种。定义1：圆所占平面的大小叫作圆的面积;定义2：圆的内接或外切正多边形，当边数无限递增时，其面积的极限叫作圆的面积。

定义2在圆面积定义中提到的“圆内接或外切正多边形”是随着内接或外切的正方形的边数无限递增时，它的面积越来越逼近圆的面积。它体现了“圆出于方”“化曲为直”的极限思想，动态展现圆面积的推导过程。所以，只有把握了形概念，才能更好地探索型的本课教学。

（二）基于教材，厘清认知序列

教材遵循着怎样的逻辑体系呢？笔者根据“平面图形面积的度量”，梳理如下：

三年级初识面积，触摸度量本质：通过在长、正方形里摆大小统一的小正方形，从而推导出长、正方形面积计算公式。

五年级明朗转化方法，化新为旧：利用割补法、倍拼法等多种转化方法，将新图形转化为旧图形，经历等积变形的过程。

六年级深刻转化思想，化曲为直：圆是一个曲边图形，它的公式推导比先前学的直边图形面积推导困难得多。首先，在面积推导中的“转化思想”在圆面积公式推导也有非常重要的价值;其次，圆面积公式推导需要实现化曲为直、极限思想的转化，体现量变到质变的发展规律。

（三）基于前测，量化现有水平

学习本课之前，学生会怎样推导圆的面积计算公式呢？笔者对未上过本节课的120名六年级学生展开前测，并根据范希尔的几何思维水平得出以下数据：

16.7%的学生思维处于直观化水平，这启发教师课上要激活旧知，做好知识技能和思想方法的铺垫，引导学生经历面积度量从粗略到精准的过程;66.0%的学生无法成功推导圆面积，课上需要直观展示化曲为直的过程、引导学生想象和理解抽象的“无限等分”，实现思维从描述分析向抽象关联过渡;17.3%的学生对圆面积的探索有多元方式，教师应创设开放的探究空间，提供丰富的研究素材，让学生经历多种操作活动，积累数学活动经验，内化“转化”思想。

二、策略改进，有的放矢

经过理论引领、教材梳理、学情分析，如何让学生经历度量过程，深化转化思想呢？笔者提出“经历估测、联想推理、多元转化”教學策略。

（一）经历估测，迂回验证，凸显转化价值

之前平面图形面积公式推导中的转化，都是由直边图形转化为直边图形，可圆作为一种曲线图形，要怎样才能转化成直边图形呢？笔者认为可以在“圆的面积”公式推导前，先猜一猜圆的面积会与什么有关呢？使学生在猜想中，圆面积和圆各部分大小、长短的关系，感受“化曲为直”的思想。

第一次估测：直接延续，猜测圆面积和半径的关系

师：（出示半径为3、4、5厘米的圆）要知道这些圆的面积，有什么方法？

生：先数出[14]圆的面积，那么就可以×4计算整个圆的面积。

第二次估测：迁移比较，否定圆面积和直径的关系

师：用圆的面积除以相应圆的直径呢？同桌之间互相说一说。

生讨论，并反馈。

第三次估测：观察转化，想象圆面积和半径平方的关系

师：那么圆的面积与什么有关呢？（师引导学生关注圆的面积与小正方形之间的关系）

生猜测：圆的面积与半径的平方之间的倍数关系是不是不变的呢？

利用圆内接和外切正方形估计面积，既有利于学生对圆面积与半径关系的理解，得出圆面积的取值范围，又渗透了用“逼近”思想探究圆面积计算公式的方法，体现了极限的思想。学生三次提出猜想，在迂回中不断接近问题的本质，具有探索性的设问，每一次都助推着学生思维向更深处延伸，为进一步探究圆的面积公式指明方向。

（二）联想推理，化曲为直，突破转化难点

对于圆能否转化成标准的直边图形来推导其公式，学生非常难理解。当教师给出分割图后，大部分学生认为不能转化，也不知道从哪里入手才能把圆拼成学过的图形，如何在操作中如何“化曲为直”是学生思维最大的“绊脚石”。

【片段一】动手剪拼，逐步呈现圆面均分、递增现象

在理解圆的面积的意义之后，通过对比复习平面图形的面积推导方法，感受直线和曲线平面图形推导方法的不一致，引出化曲为直的方法。

师：请同学们拿出课前准备好的6张圆形纸片，把它分成4等份、8等份、16等份、32等份，剪开后，用这些近似的等腰三角形的小纸片拼一拼、摆一摆，看看你能发现什么？

通过对比几组的作品，引导学生发现，当把圆平均分的份数越多，这个图形就越接近于长方形。

【片段二】直观演示，实现量变到质变的跨越

师：如果把圆分成64等份、128等份、256等份……一直这样分下去，你们觉得会是怎样的图形？请大家发挥想象。（师用课件演示，印证学生的想象）

用课件演示细分的过程，形象直观，让学生感受极限的思想，当把圆一直分，到不能再分时，拼成的图形真的就最接近长方形了。

【片段三】联想推理，寻找转化前后的对应关系

师：拼成的近似长方形与圆有何关系？圆的面积到底怎么计算呢？（生观察自己拼成的图形，结合课件演示，独立推导出圆的面积）

必要的操作是推理的基础。在课件演示后重点引导学生思考勾连圆和长方形之间的联系，提升联想推理能力。这样由扶到放、由表面现象到本质的引导，使学生始终参与到如何把圆转化为近似的长方形中来，从而真切地经历知识的形成过程。

把圆转化成“近似的长方形”，学生对“近似的长方形”充满了疑惑，所以教学时通过比较直观的“有限等分”引导学生逐渐去理解“无限等分”。学生经历了猜想、操作、推理、转化的过程，把圆转化成已知图形，从而推导出圆的面积公式。

（三）多元转化，打开时空，触及转化本质

为聚焦转化前后图形之间的关系，教师可以让学生自主选题，介绍另外的推导方式，还可以适时安排一些能体现出转化前后图形之间关系的题目加以练习，数形结合加深对抽象公式的理解，培养发散性思维，体验转化的魅力。

【片段一】各异方式，让转化思想生根发芽。

前测表明，学生能想出不一样的转化方式。课前教师引导学生展示思维的最原始状态，在课堂适时呈现：

师：动手剪一剪圆纸片，把它平均分成16份，拼一拼：试着转化成熟悉的图形，并计算出相应的面积。

教师及时引导学生归纳：圆是曲线围成的图形，将圆转化成三角形、梯形、平行四边形、长方形等都是线段围成的图形，而化曲为直是转化的运用與体现。另有学生想出更多的转化方式：

【片段二】及时巩固，让转化思想根深蒂固。

上述方法都把一个未知的、尚未建立面积公式的圆，转化成为一个已经能求出面积的基本图形，根据剪拼前后的图形关系，求出圆的面积。这种转化思想是基于“化曲为直”、变“有限”为“无限”的思考，不同的推导思路让学生感受方法的多样性和一致性，加深对转化思想的认识和体验，同时感悟“无限逼近”和“等积变形”的含义。

三、着眼未来，任重道远

“圆的面积”一课所承载的思想方法延续到圆柱的体积一课：

把一个圆柱沿半径分成若干等份，然后拼成一个近似的长方体，已知转化后的长方体的高为6厘米，长方体的表面积比圆柱多48平方厘米。那么，这个圆柱的体积是（   ）立方厘米。

延伸变式把原命题中圆的面积问题改为圆柱的体积问题，是对原命题设计理念的一种延伸应用，旨在评价解题者对圆柱体积公式推导过程的理解。

转化思想的习得与运用不是一蹴而就的，而应该是循序渐进，为提升学生思维能力服务的。转化思想的渗透与运用，要注重完善转化思想在图形与几何教学中的情感构建，要基于学生已有知识经验和思维方式的个体差异，逐步感悟“转化”的魅力，收获数学学习和研究的快乐。