董井林 张洪清

(湖南省石门县第一中学,湖南 石门 415300)

1 问题的提出

下面这道流体力学题,用动量定理和伯努利方程两种方法求解,所得结果截然不同．

图1 计算v与h的关系

如图1所示,一根水平管道a两端与大气相通,在管道上竖直插有一根上端开口的“L”形弯管b.当a管内的液体以速度v匀速流动时,b管内液面的高度为h,假设液体与管道之间不存在摩擦力,则v与h的关系是

解法1:用动量定理求.

设b管底端开口处的横截面积为S,液体密度为ρ,在极短时间Δt内,与b管底端相冲击的a管中的液体质量Δm为

Δm=ρvΔtS.

(1)

对这质量为Δm的液柱微元,设b管中底端静止液体对它的作用力为F,由动量定理知

0-Δmv=-FΔt.

(2)

由(1)、(2)式得

F=ρSv2.

又由牛顿第三定律知,b管中静止液体受到a管中水流的冲击力F′为

F′=F=ρSv2.

(3)

再对b管中高为h的静止液柱,由平衡条件知

ρShg=F′.

(4)

由(3)、(4)式得

故应选(B)项.

解法2:用伯努利方程求.

设大气压强为p0,b管底端开口处的液体压强为p,液体密度为ρ,由伯努利方程可知

(5)

对b管中高为h的静止液柱,由平衡条件知,

p0+ρhg=p.

(6)

由(5)、(6)式得

故应选(A)项.

这两种解法的答案截然不同.实际上第1种解法中用动量定理求解的过程有错误,但一直以来是个谜,困扰中学物体教学界已经很久了,正确答案应选(A)项.下面循序渐进地分析其错解原因.

2 液柱垂直冲击平板状物体的过程中,其横截面积要增大

从管口喷出的液柱在垂直冲击平板状物体后,若沿液柱前进方向的速度变为0,则在冲击过程中其横截面积要增大,流线图如图2所示,[1]而不是横截面积……