朱玉扬

(1.亳州学院电子与信息工程系 236800；2.合肥学院人工智能与大数据学院 230601)

将一张矩形的纸张对折n次后，用刀沿着折痕裁它，每次裁后不准将其重叠再裁，即每次裁后不准改变纸张的位置，那么，至少要裁多少刀才可以将纸张裁成2n张小纸片？为解决这一问题，先看下表：

表1 裁纸张数分布表

定理1将一张矩形的纸张对折n次后，用刀沿着折痕裁它，每次裁后不准改变纸张的位置，将其裁成2n张小纸片，那么最少要裁的刀数为

证明记对折n次后需裁得刀数为f(n). 我们知道，对折n次，最后一道折痕即是最厚的一道折痕，它所对应的一边需裁1刀，倒数第二道折痕即是次厚的折痕，它所对应的一边需裁2刀.

不妨令折痕最厚的边为“下边”，折痕次厚的边为“右边”，故“下边”需裁1刀，“右边”需裁2刀，而所折纸块的另两边即“上边”与“左边”所需裁的最少刀数分别设为an-2与bn-2，所以f(n)等于各边最少刀数之和，即f(n)=1+2+an-2+bn-2.

下面我们来考虑数列{an}与{bn}之间的关系.

当n=k+2(k∈N+)时，由上面所设知“上边”所需裁的最少刀数为ak，“左边”所需裁的最少刀数为bk，而“下边”所需裁的最少刀数为1刀，“右边”所需裁的最少刀数为2刀(见图1(i)).

当n=k+3时，我们可逆向考虑. 如图1(ii)，将原先所折纸张沿着虚线L对折，则图1(i)变为图1(ii)：

图1(i)

图1(ii)

即有ak+1=2(ak-1+1). (1)

因a0=0,a1=2，由(1)式易证a2k-1=a2k(k∈N+). 事实上k=1时，a0=0,a1=2，由(1)式得a2=2(a0+1)=2，即k=1时，有a2k-1=a2k. 假设k=s(s≥1,s∈N+)时有a2s-1=a2s，那么k=s+1时，有

(2)

由假设知a2s-1=a2s，由(2)两式即得a2(s+1)-1=a2(s+1)，由数学归纳法原理即知a2k-1=a2k(k∈N+).

再令tk=a2k-1=a2k(k∈N+)，由(1)式得tk+1=2(tk+1)，即得tk+1+2=2(tk+2)，因此递归得tk+1+2=2(tk+2)=22(tk-1+2)

=…=2k(t1+2)，

而t1=a1=2，因此

tk+1+2=2k(t1+2)=2k+2⟹tk+1=2k+2-2.

故当n≥3时，f(n)=3+an-2+bn-2

=3+an-2+2an-3，

而tk=a2k-1=a2k，

所以当n为奇数时

当n为偶数时

f(n)=3+an-2+2an-3

故当n≥3时有

另一方面，当n=1,2时，因f(1)=1，f(2)=3，即……