葛慧敏 徐章韬

(华中师范大学 数学与统计学学院 430079)

1 引言

下面是在教材深度分析中，通过探究来理解教材的一个案例.这个案例的作用不只是从另外一个角度理解均值不等式，而是为了阐明一种一线串通的思考路径.

2 各种平均数的得来

2.1 算术平均数

2.2 调和平均数

(1)变常数

(2)分式变换

进行倒数变换.倒数变换是代数变形中的一种常见技法.

2.3 几何平均数

(1)常数变易

(2)变常数为未知数

(3)分式变换

2.4 平方平均数

(1)常数变易

(2)分式变换

3 各种平均数的统一

3.1 引出凸、凹函数的概念

3.2 得到大小关系链

再由比例的性质有

故有Q>A>G>H.

3.3 从几何上说明

古希腊人为了克服无理数的困扰，对线段比十分热衷.平行线分线段成比例定理更是相似三角形的基础.由此，可以得到上述不等式链的几何说明.

如图1，四边形ABCD为梯形，其中AB=a,DC=b(不妨设a

图1

(1)分别计算线段EF,GH,KL,IJ的长度.

② 因为梯形ABLK∽梯形KLCD,

④ 如图2计算IJ的长度，延长CB与DA交于点M.

图2

(2)研究线段EF,GH,KL,IJ在梯形ABCD中的位置.

图3

如图3，设线段KL与线段BD交于点O1,线段GH与线段BD交于点O2,线段IJ与线段BD交于点O3.

4 分析与讨论

在上述过程中能够看到，采取的主体思路是：以定比分点公式为主线串通均值不等式链.通过算术平均数的定义引入定比分点公式的表示，猜想定比分点公式可以推导出调和平均数、几何平均数和平方平均数；把握三种平均数的特点，利用常数变易和分式变换两条变换路线进行推导；说明均值不等式链中的各种平均数都可以通过定比分点公式而得到.……