石勇国

(内江师范学院数学与信息科学学院 四川省高校数值仿真重点实验室 641100)

1 引言

太阳神鸟金饰在2001年出土于成都金沙遗址[1]，是21世纪我国考古的一个重大发现．太阳神鸟金饰标记的时间为商周时期，大约三千年以前．其图案设计精妙最为惹人注目，成都市政府很快用它作为城市形象标志和文化象征，已经运用到了立交桥、地铁、机场等公共场所．2005年8月17日，国家文物局正式公布采用商周太阳神鸟金饰图案为“中国文化遗产标志”．

很多学者对这件文物做过研究．文史研究人员专注于它的古蜀文化内涵[2]；藏族学者看到它与藏族文化之间的关联[3]；考古研究者看到它精美的制作工艺[4]；作为数学研究者，第一眼看到这件文物时，我们关注它里面蕴涵的数学知识，以及当时我们中华民族的数学水平．太阳神鸟金饰映入眼睑的数学问题即是如何用尺规进行圆的十二等分．关于等分圆周问题是平面几何中的著名问题之一[5]．与等分圆周等价的问题是尺规作正多边形问题(the construction of regular polygon with ruler and compass)，即是用无刻度的直尺和圆规作图几何问题．早在古希腊的欧几里得(公元前325年—公元前265年)时代，人们就知道边数形如2m，2m·3、2m·5的正多边形可用尺规作出．金沙遗址中的文物实证了：比欧几里得早约700年，中国人已经掌握这些尺规等分圆周的作图法，并且运用到各种设计之中．

虽然中华人民共和国国家标准GBGB/T 25601-2010[6]规定了中国文化遗产标志形式、内容、比例等标准，但是里面缺乏太阳12道光芒的标准数据．我们也尝试给予弥补．

2 金沙遗址中的相关几何图案

图1 商周带柄铜有领璧形器(左)，以及商周卷云纹金喇叭形器(右)

成都金沙遗址出土的一件青铜三鸟纹有领璧形器，如图1，是与 “太阳神鸟”金箔图饰(如图2)有着类似设计的珍贵器物，制作于商代晚期．带柄铜有领璧形器呈圆环形，环面近边缘处有两道同心弦纹，在弦纹与孔壁间铸有三只相同的逆时针飞行的鸟纹图案．金沙遗址还出土了商周卷云纹金喇叭形器，其腹壁上等距分布着的三朵卷云纹线条十分优美．这两件文物都说明在商代，人们已经会圆的三等分．

图2 商周太阳神鸟金饰

图3 商代铜太阳形器

图4 商周青铜螺形器

商周“太阳神鸟”金饰为商周时期的镂空金器，如图2，图案分内外两层，内层等距分布有十二条旋转的齿状光芒；外层由四只相同的、等间距的逆时针飞行的鸟组成．青铜三鸟纹有领璧形器与 “太阳神鸟”金箔图饰说明在商周时代人们已经会圆的三等分、四等分、六等分与十二等分．

图3的铜太阳形器，制作于商代晚期，在四川省广汉市三星堆遗址出土，直径85厘米，其周围等距分布五条芒，大圈也等距分布5个圆孔．铜太阳形器说明在商代人们已经会圆的五等分．

图4的商周青铜螺形器，制作于商周时期，在四川省成都金沙遗址博物馆出土．说明在商代，人民对螺旋线已有认识，并且应用到青铜器上．

3 关于尺规作图圆周等分问题

首先给出几个基本等分圆的作法．

图5 十二等分圆

图6 三等分圆和六等分圆

图5给出了十二等分圆．得到了正十二边形．分两步即可完成，首先，画两条互相垂直的直径AB，CD；其次，分别以A,B,C,D为圆心,圆的半径为半径画弧,与圆得到八个交点，则这八个交点与A、B、C、D四点共12个点把圆周十二等分了. 显然十二等分圆中自然有三、四和六等分圆．

若已给定圆心为O，直径为AB的圆，以A为圆心、半径AO画圆，与圆有两个交点．再以B为圆心，半径BO画圆，与圆有两个交点．则这些点绘制出圆的六等分点．圆的3、4、5、6、8、10、12、15等分方法，最早记录于欧几里得(前325年-前265年)的《几何原本》第四卷第15章[7]或参见[8]中系统详细的介绍.

图7 五等分圆和十等分圆

只使用直尺和圆规，作正7、9、11、13、17边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使18世纪以前的数学家都束手无策．直到1796年，年仅19岁的高斯(Gauss)发现了正十七边形可以尺规构造[9]．正是这一作图发现，同时也是两千年以来在这个古希腊尺规问题上的第一个进展，激发高斯投身于数学事业．高斯还进一步断言：一个正n边形可用尺规作出n是2的m(≥0)次方和任意个(可为0个)相异费马数(即形如Ft=22t+1的素数)的乘积．然而高斯仅证明这一论断的充分性，其必要性是由旺策尔(Wantzel)于1837年证明的．Erchinger在1800年左右首次精确地构造了正十七边形．例如，当t=0,1,2,3,4时，对应的费马素数Ft=3,5,17,257,65537以及2m与它们之积，可用尺规作出．但是，正7、9、11、13边形不能用尺规作出；另外，时至今日，尚不知是否还有其它的费马素数．

4 太阳神鸟金饰中太阳光芒的设计

图8 光芒的作图法

我们猜想古代蜀国人设计太阳光芒，作了下面三条假设：

(1)太阳的12道光芒形状是一样的，任意道光芒都可以由其中一道光芒绕圆心O旋转而得到．

注：假设(1)是顺乎自然的．关于假设(2)，相对于其他光滑弧线，圆弧用圆规更容易作出；在官方公布太阳神鸟金饰图案上，使用三点确定圆周的方法，确定一个月牙光芒的两个圆弧分别所在两个圆的半径接近，且接近内圆的半径．关于假设(3)，切线的夹角为30°，接近测量值，而且便于尺规作图．

根据以上三条假设，我们唯一确定了太阳光芒形状．具体的作法有很多种，下面是其中一种作法:

进一步可以证明：三角形△GHC是边长为r的等边三角形；光芒的两圆弧的圆心F和G，与分点D三线共点．

于是，我们还原了古蜀国手工艺人给当时诸侯王制作这样一件王室精品图徽的精细过程．删掉一些相关的辅助线后，得到了图9中的左图，与官方公布的图形(图9中的右图)做对比．在我们绘制的图中，太阳加上光芒整个外围圆半径与内圆半径之比OH:OD=1.52，而在官方公布的金沙遗址图案中，我们测量比例约为1.54．与标准的图形非常接近．出现误差的原因主要有两个，一是测量的误差，另外是太阳神鸟的金箔经过三千多年，发生了形变，实属难免．

图9 对比图，左边是我们绘制的，右边是金沙遗址博物馆的标准图

5 总结

太阳神鸟用抽象的方法，简化了鸟的造型，将鸟的两腿合并为一腿，缩小双翼的尺寸，略去了羽毛纹路，使之能够将四只大鸟置与图徽的边缘；这四只大鸟首足相连，引颈伸腿逆时针方向围绕反方向旋转的太阳飞翔，正反对比设计，使得图案具有强烈的动感．整个太阳神鸟的设计集数学和美术于一身，充分表明了中国周时期不仅掌握了圆的性质和等分技巧，而且还将这些平面几何方法运用到标商志性的图案设计，堪称现代商标图徽的鼻祖．