李娜 赵世恩 钱张培

摘 要：小学阶段是数学思维培养的关键期，而课堂教学又是数学思维培养的主阵地。在新的教学观的背景下，传统“满堂灌”的课堂教学已经不合时宜，既不利于学生数学思维的提升，同时也没有收到很好的教学效果，这就使得优化课堂容量显得尤为重要。通过对课堂容量“三量两面一度”的探究，给出了5点有助于培养学生数学思维的优化课堂容量的教学策略。

关键词：小学数学; 课堂容量; 数学思维

中图分类号：G623.5             文献标识码：A       文章编号：1006-3315（2020）1-067-002

爱因斯坦这样说过：在你离开学校后忘记了学到的一切，最后剩下的就是教育。而对于小学数学这门学科来说，数学思维能力不仅仅是帮助学生日后学习数学乃至深造数学的重要条件，更是伴随人一生的重要素养。本文，首先介绍了数学思维的相关内涵;其次，在当前关于课堂容量研究成果的基础上，给出了“课堂容量”更为精细的概念并做了全面的解释;最后，基于提升学生数学思维，给出优化课堂容量的几个教学策略。

1.数学思维的内涵及重要性

1.1数学思维的内涵

数学思维是数学学科所具有的本质属性，是指用数学的方法思考和解决问题的思维活动形式。从宏观来讲，数学思维应包括观察能力、想象能力、推理能力以及解决问题的能力。[1] 而对于小学阶段的数学，数学思维主要是培养小学生的几何直观能力，举一反三的能力以及抽象概括的能力。在这里虽然把数学思维进行了分类，但是在实际的教学中，每一个教学活动不是单一的对应一种思维的训练，而是多方面的综合。

1.2小学阶段培养数学思维的重要性

根据皮亚杰的认知发展阶段论，把儿童思维的发展分为四个阶段，小学阶段的儿童正处于具体运算阶段，这一阶段儿童开始能够凭借具体事物或从具体事物中获得的表象进行逻辑思维和群集运算，但思维仍需要具体事物的支持，还不能进行抽象思维。[2]小学生处于逻辑思维的萌发阶段，同时也是数学思维初步形成的时期，所以小学阶段成为培养数学思维的关键期。数学思维能力的培养不仅可以提高学生运用数学的思维方式解决数学问题的能力，同时也是发展学生逻辑思维、抽象思维的途径，并对其它相关学科的学习起到促进的作用。

2.课堂容量的探究

2.1对当前课堂容量界定的综述

从目前的文献资料来看，对于课堂容量的界定并没有达成一致，而对于合理课堂容量的讨论更是见仁见智，研究尚处于不成熟阶段。笔者将目前学者对课堂容量概念的界定做一概括的综述。观点一，“当下课堂容量有三种基本形态：第一种为基本容量，是指依据课程标准和学习内容，按学期计划分解到每个单元、每个学时;第二种为目标容量，是指按学业水平考核要求设计的教学容量，一般是指中考、高考等;第三种为实施容量，是指依据学生的最近发展区设计的可操作的课堂教学容量”。[3] 这三种形态如何科学合理的兼顾历来是教师们无法解决的问题，甚至是一种理想的状态。在实际的教学中，往往会出现过分注重目标容量，而无法真正把学生的最近发展区考虑在内的情况。观点二，“所谓课堂容量，就是老师安排这一节课要求学生完成的教学内容”。[4]这一观点将课堂容量完全等同于教学内容，只关注教师的“教”而没有关注学生的“学”，忽视了学生的认知规律和学生的主体性地位，课堂教学是师生互动交流的过程，而不是教师的“一言堂”。观点三，课堂容量归纳起来应从“知识量”、“练习量”、“思维量”和“思想教育渗透量”四个方面来衡量。[5]这一观点不仅仅关注那些可以量化的维度，也同时重视了思维乃至情感层面的维度，但是并没有具体给“思维量”和“思想教育渗透量”作清楚的界定，可操作性不强。

2.2课堂容量的界定

在前人对课堂容量概念界定的研究基础上，结合笔者的听评课经历，对课堂容量做如下界定：“课堂容量”是指在遵循学生的认知规律、学科知识的内在规律以及课堂中学生思维的变化规律的基础上，从“信息量”、“思维量”、“练习量”、“参与面”、“展示面”和“达成度”这六个维度进行考量的统一。

下面具体来解释这“三量两面一度”：“信息量”是指信息多少的量度。这里的信息量不等同于知识量，教师在课堂上传授的知识其实是在传递某个事物的消息，但是消息的多少不等同于信息的多少。从教师的角度来讲，如果讲授的内容是学生早已知道的，那么讲授的信息量就为0。反之如果讲授的内容是学生不曾学过的，或者不是完全知道的内容，那么讲授的信息量就很大。也就是说，信息量的大小取决于消息不确定性程度的大小。对于学生而言，课堂信息量的大小即课堂获取的知识可以减少他对某些知识的不确定性程度的大小。举例来说，学生对面积的概念存在不确定性（即先前经验），通过教师的讲授，对生活中“面”的理解以及平面图形的面积能够清楚的认识，从而减少甚至消除了学生对面积这一概念的不确定性，学生的这种改变越大，说明课堂的信息量就越大;[6]“思维量”即思维质量，是通过真正促进学生思维提升，激发学生思考，调动学生积极性的课堂提问来实现的;“练习量”顾名思义是指为了检测和巩固本节课的知识而设计的课堂练习的数量;“参与面”是指学生参与到课堂学习中的人数。“展示面”是指以学生为主体的课堂中，学生展示的部分。每节课都有“展示英雄”，每节课也都有“看客”，如何在有限的課堂时间中尽量全面的展示出不同层面学生的学习状态，是教师备课过程中的重点。最后的“达成度”是指课堂目标的完成程度，评价每一位学生对课堂知识的吸收程度。

3.提升数学思维能力，优化课堂容量的具体策略

以上的阐述中，已经给课堂容量定义了一个全新的概念，以下给出具体的教学建议。

3.1进行单元备课，优化课堂信息量

前文中提到：信息量的大小取决于消息不确定性程度的大小。针对这一概念，在衡量课堂信息量时就要考虑两个因素，一是学生的先前经验，另外就是新知识本身的难易程度。一方面是学生的学情，另一方面是新知识本身在小学数学知识体系中的地位。优化课堂信息量就是综合考虑学生已有的知识以及知识本身的重要性。这就要求教师在备课的过程中，不仅要备教材，更重要的是备学生。随着备课方法的不断革新和优化，单元备课成为目前深受广大教师认可的科学备课方法。单元备课的优势在于，打破了传统按照教科书所计划的课时内容进行备课的模式，更加充分考虑学生的先前经验以及学生学习的困难所在，一方面通过课前调研对本单元学生已有的知识经验进行了解，另一方面将数学思维的提升和教学相结合，合理安排课时，对学生的难点要着重解决，达到优化课堂信息量的目的。

例如在教学小学数学部编本教材五年级下册《分数的加法和减法》这单元时，首先要了解学生的学情，学生从一年级到四年级学习了整数，由整数的认识到整数的运算，经历了对十进位值制的感悟、对数的意义和加减乘除运算意义的理解，以及对运算法则的探索，已经能够熟练地掌握整数的运算法则。但是从一年级就开始学习的十进位值制在分数的运算中貌似“失效”了，所以“如何探索分数的运算法则？”“理解寻找统一的分数单位的必要性”“如何理解分数运算的意义？”这些问题就是这一单元主要教学的内容，[7]教师应该加大对这些问题学习的课时。

3.2设计有效提问，增加课堂思维量

问题是思维之源，思维的质量取决于问题的质量。美国心理学家布鲁姆在20世纪50年代提出将认知领域的目标分为记忆、理解、应用、分析、综合、评价六个层次。这六种类型的问题中，前三类属于初级层次的认知问题，一般有直接、明确的答案，后三类属于高级认知问题，没有唯一正确的答案，但能够激发学生思维，提升其思维能力。基于布鲁姆认知目标分类的方法设计课堂问题，促使教师将关注课堂提问的频率转移到关注提问的水平上来，从而增加课堂教学的思维量。

课堂提问的问题数量不宜过多，在设计问题时力求精致不随意。如教学“线段”时，根据学生认知领域中的6种不同层次行为，对于线段概念也有相应的以下不同提问方式：①线段有哪些特征？②如何来画一条线段？③线段和直线、射线的区别是什么？④生活中在哪些物体上可以找到线段的身影？⑤球滚动的路线能看成线段吗？⑥3点之间共可以画几条线段？4点呢？

高质量的课堂提问不仅可以锻炼学生数学思维能力中的抽象思维能力以及举一反三的能力，更是优化课堂容量的一个有效方法。课堂的主体是学生，教师的提问是学生思考过程中的引导，而不能成为一种单向封闭式的对话。

3.3增加变式练习，优化课堂练习量

练习是学习和教学的必备环节，Dempster说过：“在把新信息从工作记忆转入到长时记忆的过程中，练习是关键的一步”，“许多知识的保持是通过多次练习和复习而得到提高的”。[8]在小学数学课堂教学中，课堂练习作为一个重要组成部分，不仅是学生掌握知识技能，发展智力能力，促进思维，挖掘潜力的有力手段，也是教师及时掌握课堂教学效果的重要手段。课堂练习的设计不仅要合理控制数量，更要注意变式的运用。在小学数学教学中，变式体现为通过对数学概念、定义、定理、公式、法则等的变化，以及对题目不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，使其面目不一，而本质特征不变。

例如教学完长（正）方形的面积计算后，可设计这样的变式题：变式一：用30厘米长的绳子围成一个长方形，长方形的面积是多少？变式二：周长相等的长方形和正方形，谁的面积更大？变式三：在一块面积是36平方米的长方形菜园外围围篱笆，篱笆的长度最少是多少？

小学生在解题时，经常会按特定的模式解答习题，这就需要教师在设计课堂练习时，充分把握学生这一思维特点，通过巧妙的变式设计，促使学生进行发现式学习，从而锻炼学生思维的灵活性和创造性。用变式练习取代简单的机械练习，提高练习的质量，同时也锻炼了学生举一反三的能力。

3.4加强数学交流，扩大学生参与面和展示面

《数学课程标准（2011版）》指出：有效的数学学习过程不能单纯的依靠模仿与记忆，而动手实践、自主探索与合作交流是学生学习的重要学习方式。[9]学生不应该只是坐在座位上被动听讲，而是要将自己的情感和行为都投入到学习中，主动建构知识结构，将新知识同化到自己的认知体系中。这就需要教师给学生提供充分的活动交流的机会，帮助学生在自主探索中真正理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想和方法。学生在参与探究、交流展示的过程中，不仅锻炼了语言表达的能力，更加锻炼了数学思维。

3.5科学衡量课堂目标达成度

对课堂的达成度的理解经常是等同于教学目标的完成程度，有些教师甚至为了快速的完成自己设计好的教学计划，让学生按照自己的想法一步一步的进行，如果在实际操作中哪一环节用时超出了预期，或者是学生讨论的想法和自己的预设有出入，教师就会立刻打断学生来“扭转局面”。合理的课堂容量对于达成度的考量不应该局限于此。学生是一个个独立的个体，有着独立的思想，教师永远无法完全正确的预设每个学生的回答，与其这样，不如将课堂交给学生，这样一来，对达成度的衡量则转向了以学生为主体。

教学不应求快，当学生遇到很难理解的问题或理解学习内容有偏差时，教师应放慢教学节奏，并预留出学生思考的时间和机会，让学生提问，互相交流，使他们在共同的探究中提高认识，建立自己的知识体系中的碰撞。比如在学习“位置”这部分内容时，教师让学生自主探究，首先确定自己在教室的位置是第几排第几列，然后把自己的位置用平面图的方式来表示，并尝试使用平面直角坐标系，引导学生思考如何在平面直角坐标系中正确表示自己的位置。这样的一节课，虽然时间相同，但是思维量不同，课堂目标的达成度也不同。

4.小结

培养学生的数学思维能力是小学数学课堂教学的重点，也是数学这门学科最本质的目的。为了提升学生的数学思维，教师应引导学生用数学的方法解决实际生活中的问题。而每节课的时间十分有限，因此对于教师应围绕上文提出的“三量两面一度”，合理的设计课堂教学，优化课堂容量。

参考文献：

[1]曹少华.核心素养视野下的化学课堂容量[J]教学与管理， 2018（28）：72

[2]陈琦.刘儒德.当代教育心理学[M].第二版.北京.北京师范大学出版社，2007，31-34

[3]杜玉坤.试论课堂教学容量[J]广西教育，1999（z1）：41-43

[4]朱阳金.试论小学数学教学中学生数学思维能力的培养[J]教育教学论坛，2012（40）：102-103

[5]王海侠.试论小学数学教学中学生数学思维能力的培养[J]教育现代化，2017（27）：29-30

[6]周治華.关于课堂讲授信息量的思考[J]四川师范学院学报：哲学社会科学版，1996（4）：113-117

[7]郭立军.整体把握与单元教学研究[M]北京师范大学出版社，2017（1）：171

[8]皮连生.教育心理学[M]上海教育出版社，2004，（1）：152

[9]中国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S]北京：北京师范大学出版社，2007