林文亮

摘 要 利用構造图形来解决代数问题，让代数问题思维可视化，更有利于学生的创新思维和数学核心素养的培养，成就学生的精彩。

关键词 代数;问题;思维

中图分类号：G633.62，B01                                         文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2019）12-0175-01

学生在解决代数式、方程、函数等代数问题时，往往只用考虑用代数公式运算等代数的解题方法，却忽略了数与形的结合，而几何与代数隔离，限制了学生思维的发展，有时还往往不得要领或者只是一知半解。著名数学家华罗庚教授说过：“数与形，本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”教师在教学时若能多引导学生利用构造图形来解决代数问题，以形表数，用图形给学生建立思维的立脚点与脚手架，让代数问题思维可视化，更能培养学生的创新思维，更有利于落实数学核心素养的培养。而学生若能熟练掌握用构造图形来解决代数问题也就相当于打通了数学的“任督二脉”，学生在欣赏“数学之美”中学会探究数学，感觉数学更生活化、更美、更接地气，也就会更喜欢上数学，为终身学习奠定基础。

一、追根溯源，探究规律

课本例题：在新人教版八年级上15.3《乘法公式》一节中出现用面积说明平方差公式的思考题。分析：大正方形面积-小正方形面积=剩余面积。剩余部分可以拼凑为一个边长为（a+b）、（a-b）的一个矩形。为了让学生体会面积拼凑的过程，笔者利用flash软件制作了可用键盘控制图形旋转与平移的课件，学生通过动态的操作，体会通过代数式转化为图形的运动变化的过程，可以边操作边思维，还可以有纠错改正的余地，真正地用图形来实现思维的可视化。学生通过图形的重新构造不难证明以下结论：S_剩余面积=S_大-S_小=a²-b²S_剩余面积=（a+b）（a-b）因此，a²-b²=（a+b）（a-b）。运用构图法还可以证明完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²、（a-b）²=a²-2ab+b²。通过对公式的证明，让学生体会构图法可以把代数与几何完美地结合在一起，更深刻体会数形结合的思想。

二、趣味试题，激发兴趣

例题：求代数式的最小值.若用常规代数方法学生则可能是一筹莫展，我引导学生可另辟捷径采用构造图形法来解决问题。

构造方法：，先设线段BD=12，再分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且让AB=3，DE=2，设C为线段BD上一动点，连接AC、EC，设CD=x.再设置以下两个提示问题：

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长;

（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？

学生就可由两点间线段最短不难得出代数式的最小值其实就是线段AE的长了.本题巧用构造图形来显示各个量的关系和变化，

为学生探究解题思路提供“思维可视化”.而构造图形的关键在于敏锐的观察和合理的联想，通过研究其几何特征，能使抽象的数量关系在图形上直观地呈现出来，使問题变得简单.

三、以形解数，柳暗花明

在解决三角函数问题的学习中更是少不了图形的构造了。例：已知tan30°和tan45°的值，你能求出tan75°的值吗？对初中学生而言因不能直接利用公式，因而很多学生都“无路可走”，而利用构造图形法却能使问题“柳暗花明”。以下是解答思路：

首先得先把45°角和30°角都要构在一个直角三角形中，其次构一线三直角，为了有75°角，想到平行角相等，所以构造矩形.

具体操作的时候可以按如下步骤：

（1）作一个45°角（∠O）如图;

（2）在∠O终边上取点A向角的外部作垂线，构造∠AOB=30°（也即以OA为公共边向外构造一个含30°角的直角三角形ABO）;

（3）过点A，B，O三点分别作坐标轴的垂线，框成一个矩形OCDE，有此得到∠EBO=∠BOC=75°;

（4）由一线三直角得到两个阴影的三角形相似，相似比为AB和OA的比1：，不妨令BD为1，由45°则AD=BD=1，由相似比知OC=AC=，所以OE=CD=+1，EB=ED-BD=-1，顺时针标出矩形边上各线段的值得出tan∠EBO=tan∠BOC=tan75°=.

构图法是数形结合思想的一个重要形式，是一种创造性的解题方法，在数学解题教学中，若能启发学生从“构造图形”渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法。

总之，在解决代数问题时，若有了图形的借助，能把学生从枯燥的数学语言、符号用图形直观呈现出来，若把一个个数字和符号组合转化成一个个图形，使其能“看得到、摸得着”，就如同“可视化”一般，则数学也就生动活泼了。图形化也是体现出数学的和谐美，不仅对学生的多元思维培养、学习兴趣的提高以及独创钻研精神的发挥无疑也是十分有利的，而且还对培养学生探究能力和建模能力有积极作用.毛作为教师应积极引导学生去体会、理解和运用这一数学思想方法，借图发挥，让思维可视化，成就学生的精彩。不仅可以提升学生数形互用解题的能力，

参考文献：

[1]梅延峰.例谈教材中的构造法[J].中学数学研究，2018（05）.

[2]陈炎.构造几何图形巧解代数问题[J].初中数学教与学，2017（02）.

基金项目：本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度专项研究课题“初中数学思维可视化教学研究”（立项编号：FJJKXB18-478）