沈爱华

[摘  要] 初中数学教学中，关于数学运算的教学处于比较微妙的地位. 初中数学课堂上重视运算教学是非常必要的，数学运算的教学也是充满挑战的，面对这个挑战需要分析当前初中学生运算能力的现状，然后寻找相应的教学策略，并进行必要的反思. 数学运算教学的关键在于三个要素：一是寻找逻辑关系，培养算理;二是建立逻辑关系，强化算理;三是进行数学运算，理解算理. 以算理为核心的数学运算教学，可以培养学生的数学运算能力，提升核心素养.

[关键词] 初中数学;运算教学;教学思考;算理

在初中数学教学中，关于数学运算的教学处于比较微妙的地位：一方面，数学运算是数学学习的基础，没有较强的数学运算能力，学生往往难以体验在数学学习中的成就感，也无法有效面对当前的考试评价;另一方面，数学运算教学在课堂上又一定程度上被边缘化，在涉及解题方法、解题思维的时候，教师往往浓墨重彩，而涉及具体的数学运算时，往往因为其没有新鲜的内容而被忽视. 结果在实际教学中看到的情形就是学生常常因数学运算而出错，教师却只顾责怪学生运算能力差的矛盾现象.

实际上，大量经验表明，初中数学课堂上重视运算教学是非常必要的，数学运算的教学也是充满挑战的. 面对这个挑战，教师需要分析当前初中学生运算能力的现状，然后寻找相应的教学策略，并进行必要的反思. 经过这种实践加反思的过程，教师面向数学运算的教学经验会得到积累，教学智慧也能够得到提升.

初中生数学运算能力的现状

有研究表明，目前初中生数学运算能力存在的问题很多，不明算理，机械地套用公式，盲目推演，缺乏选择合理、简捷运算方法的情形比较常见. 在笔者的实践中也发现，学生在数学运算的过程中，要么在某些具体的运算环节上表现出缺陷，要么在整个运算过程中都表现出认知模糊、运算混乱的情形.

以算理为例，众所周知，数学运算不是简单的计算，它实际上是一个综合性较强的过程，需要学生根据已有的数学知识去寻找等量关系，然后在建立了等量关系的基础上进行相应的计算，并进行反思的过程. 同时，对算理的把握，又反映了学生对数学知识、不同数学知识之间的关系、同一数学知识中不同逻辑关系的理解，而相当一部分学生在算理的理解上确实存在较大的缺陷（当然，这也是数学运算能力提升的较大空间）.

例如，在“平方差公式”的理解中，笔者曾经给了学生这样的一个问题：现有一个正方形的边长为a，现在其上剪去一个边长为b的正方形，结果剩下一个图形（由两个长方形组成）. 你能用这三个图形的面积关系，来推理、说明平方差的公式吗？

这实际上是一个将代数问题转换为几何問题的题目，考查的是学生的转换能力，目的也在于帮助学生丰富对平方差公式的理解，同时感受数学当中数形结合的魅力. 但在实际教学中笔者发现，相当一部分学生在遇到这个问题之后感到束手无策，他们固然知道三个图形面积之间的“和”或“差”的关系，但就是无法将数与形联系起来，因而也就无法顺利地建立两者之间的关系. 从算理的角度来看，这实际上就表现出学生在算理方面的不足. 类似的例子还有不少，因而在运算教学中首先可以从算理入手，去培养学生的数学运算能力.

数学课堂运算教学的要素

有研究指出，在初中数学课堂教学中，要培养学生的运算能力，应从培养学生合理运算能力、注意运算能力培养的阶段性、加强运算灵活性的必要训练、注重对典型运算错误的剖析等方面做起. 在笔者看来，这样的理解强调的是数学运算本身，但还缺少对运算两端的关注，即数学运算之前的情境创设与数学运算之后的反思，如果兼顾这三者，那学生数学运算能力的提升就会更加高效.

以上面所举的“平方差公式”的教学为例，在提出了上述问题之后，学生的数学运算其实就有了一个情境. 实际上，笔者看到的情形是，大部分学生能够根据情境的描述，在草稿纸上画出如图1所示的图形，其实也能够得到a2-b2的式子，但这个式子如何与（a+b）（a-b）产生联系，其间的关系并非一目了然，需要寻找更为隐蔽的逻辑关系，而这也是数学运算教学的关键.

[图1]

笔者在教学中强调了这样的几个要素：

一是寻找逻辑关系，培养算理.

其实作为一道证明题，用这个图形的面积关系去推理出平方差公式，肯定是行得通的. 这在逻辑上已经回避了“能”或“不能”的选择，客观上降低了教学的难度. 因此学生肯定需要明确由面积关系可以推理得出平方差公式，然后努力去寻找逻辑关系即可. 实际上，此难点的突破，在于将剩下的不规则的图形，“组合”成规则的图形，具体办法就是将剩下的图形沿一条边剪开，然后拼接成一个大的长方形，而这个长方形的长和宽分别就是（a+b）和（a-b）.

二是建立逻辑关系，强化算理.

事实上，逻辑关系一旦建立，学生立即能够发现平方差公式又一次成立了. 但要想强化算理，还应当引导学生回头看. 事实上就有学生在有了这一发现之后，立即自责，感觉自己笨. 因为（a+b）和（a-b）分别就对应着长和宽，这应当就是长方形的面积公式，为什么就没有想到将剪去后剩下的图形拼接成长方形呢？在笔者看来，当学生有了这个感觉时，说明他对刚才的探究过程进行反思了，对算理的理解也就深刻了.

三是进行数学运算，理解算理.

其后，教师可以通过类似于上述问题情境的变式性问题让学生去解决. 通过这样的变式训练，可以强化学生对算理的理解.

实践表明，算理其实是数学运算的核心，其能够带动数学运算能力的生成，在初中数学课堂运算的教学中，以算理为核心去带动数学运算的教学，学生就可以明确算理主线，从而在数学知识的理解、数学问题的解决中形成较强的数学运算能力. 当然，其中的计算也需要强化，避免因为计算错误而影响数学运算的正确性，限于篇幅，这个问题不展开讨论.

数学课堂运算教学思考

在数学课堂运算教学的实践中笔者发现，面向初中学生的数学运算教学，需要关注两个要点：

一是要对学生进行显性的数学运算教育. 必须让学生认识到，数学运算是数学学习的重要组成部分，只有学生自己形成了认识，他们才能对数学运算予以重视，才能在教师进行数学运算的示范、板演时高度重视，从而为数学运算能力的形成奠定基础.

二是要引导学生自主形成数学运算的能力. 具体来说就是需要引导学生在数学运算之后对运算技巧进行总结，要让他们认识到培养良好的解题习惯，谨慎使用草稿纸，对题目、题型进行有针对性的总结等的重要性.

从核心素养的角度来看，作为数学学科核心素养的重要组成部分，数学运算也支撑着核心素养的落地，因此需要在初中数学教学中让学生充分体验数学运算的过程，并在此过程中生成数学运算能力，进而保证数学运算素养的落地.