顾文立

一、问题的提出

数学概念是数学知识的基本单位，是构成抽象数学知识的“细胞”，是数学思维发生和发展的前提。倍概念是数学教学中必须抓好的重要一环。

二、什么是“倍”

（一）“倍”的定义

“倍”的概念实质上体现了两个量之间的比较关系，它建立在乘法概念的基础上，在实际教学中是从“几个几”逐步抽象出来的数学概念，它为后续学习分数、百分数、比等概念奠定重要基础。倍的概念更多的应用在解决问题方面，在解决有关倍、分数、百分数、比的实际问题时强调的是比较关系。比较的关键是确定标准，将标准量看做一个单位，通过确定比较量有几个单位或者是几分之几个单位来确定两者之间的倍比关系。在比较中“比较量”除以“标准量”等于“比率”，这是比较量和标准量的基本数量关系，是最本质的认识。带着这样的思考我对人教版教材进行了梳理。

（二）教材梳理

“倍的认识”是人教版义务教育教科书第五册第五单元“倍的认识”中的一个内容。新教材将原来分散在二年级上册和下册的关于“整数倍”的内容在三上第五单元集中编排。由于“倍”概念非常抽象，这部分知识的后移，既能使得学生学习的难度降低，又不再受到所学乘、除法的限制，教学内容的呈现更具逻辑性。而且，对比人教版、苏教版和师大版教材发现，不同版本的教材都是通过有层次的数学活动在比较中建立“几倍”与“几个几”之间的联系，经历“倍”概念模型的建立过程。新人教版教材中的素材也是通过两个量的比较，让学生认识“一份”和“几份”，同时明确“几份”的产生是由“一份”决定的（以这“一份”为标准），“几份”也就是几倍，由此通过多次感知建立“倍”的概念和数学模型。这样的编排有效地渗透了“类比”的思想方法，让学生加深对“倍”的含义的理解。这一编排更符合学生由具体到抽象的认识规律。

（三）“倍”的核心思想

“倍”概念实质上是体现了两个量之间的比较关系，所以“比较”就是“倍”概念的核心思想。那么我们继续追问，什么是比较呢？数学中的比较是多方面的，包括量的大小比较、结构和关系的比较、数学性质的比较等。在小学阶段我们涉及到的主要是量的大小比较、结构和关系的比较。

比较关系从知识点的角度说可以分为这样几个层次：首先是定性的比较（如长短、高矮）；这些比较简单。接下来是定量的比较，定量比较是学生建立了相等这个概念之后学习的；首先是一年级出现的相差关系；之后是二年级开始出现的倍比关系（倍）；再往后是高年级出现的比率关系（分数、百分数、比）。

三、学生研究

通过前测可以看出，绝大多数同学能正确比较两个量的相差關系，但很少有同学关注到倍数关系。虽然有些学生听说过“倍”，但大多学生对倍概念不清楚，并且在概念理解中明显存在原有认知“相差关系”的负迁移。

学生在学习“倍”概念时确实有一定困难，其核心困难是学生数学认知结构需要发生质的变化。小学生的数学认知结构主要是加法结构和乘法结构，而乘法结构是在加法结构基础

上产生的高层次的数学认知结构。学生加法结构的建构为后续数学学习提供了最基本的知识准备和心理发展准备。前测可以看出在学习“倍”之前，学生头脑中建构的是加法结构，是数量的合并与多少的比较，未曾学习两个量之间的比率关系，对两个量或多个量之间的比率关系问题的真正理解需要在学生头脑中建构起乘法，而“倍”的学习正是建构乘法结构，是乘法结构构建的开始。乘法结构不是指单一的认识乘法，而是一个概念体系。从加法结构到乘法结构，学生认知结构需要发生一定程度质的变化，“倍”的学习是发生质的变化的第一次机会，乘法的初步认识是从特殊的加法的角度学习的，还是合并与累加的过程，本质上仍是加法结构。

四、我的思考

学生学习“倍”都要经历从加法结构到乘法结构的转变，认知结构的转变是学生学习的最大困难。“倍”的概念的建构，不仅需要有“几个几”和“份”等前期经验进行迁移，更需要在比较的背景下逐层建构倍的概念，并且利用比较的方法，借助多种表征方式之间的转换理解倍的概念，在数学活动中理解“倍”的本质。

从问题解决角度看，在日常生活与数学中，与倍密切相关的问题主要有三类：求一个数的几倍是多少？求一个数是另一个数的几倍？已知一个数的几倍是多少，求这个数。这是建构形成乘法结构的最基本的模型，如果对“倍”的理解不深刻，不全面，必然导致片面的理解“倍”概念。

“倍的认识”作为单元起始课，应让学生在两个量的比较中，体会以标准量为“单位”衡量比较量中有几个“单位”的比较过程，逐步建构倍的概念，并在解决问题中将其化归到“几个几”的策略上，从而实现学生思维从相差关系到倍数关系的转向。

因此，倍的初步认识必须创设符合学生认知特点，同时又能解释倍的数学本质的活动，借助多种方式，让学生在比较的过程中循序渐进认识“倍”的含义，构建“倍”的模型，理解“倍”的本质，并从中积累数学活动经验，让学生在丰富多样的活动中理解倍。

基于此，我想将倍的概念分为如下三层进行建构：

以上只是我对“倍概念”单元教学的一些思考，我们不图课堂表面上的华丽，要的是孩子们真实学习力的提升。有了这些思考，课堂才能高效，才能切实减轻学生过重课业负担。让每一个课堂成为生命引领生命、智慧点燃智慧的过程。我坚信，当教学研究与绿色理念、与绿色课堂实践并进时，我的数学课堂将会焕发出无穷的活力！

参考文献

[1]沈百军.概念教学的基点与策略[J].小学教学设计，2012，8.

[2]张冬梅.从儿童学习心理角度分析[J].中小学数学，2010，11.

[3]李立荣.小学数学概念教学的思考[J].教材教法.

[4]彭永新.教学需要怎样的深度[J].中小学数学，2011，10.

[5]小学数学课程标准[M].北师大出版社，2012，1.