赵秀红

摘 要：数学这一门学科对于初中学生来说是非常重要的学科，在新课程改革标准的要求下，初中数学学科更加注重学生的数学学习能力以及数学思维的培养。数学中题型较多，因此对不同题型的题采用不同的解题思路非常重要，而分类讨论思想在数学解题思路中占有很大的比重。主要介绍了分类讨论思想在初中数学解题中的重要性以及在初中数学题目解答时的应用。

关键词：分类讨论思想；初中数学；解题思路

随着国家新课程标准的改革，初中数学更加注重数学的解题方法以及解题思路，而不是以往死记硬背而来的标准答案，因此，教师在课堂上讲授数学知识的时候应该注意数学解题方法以及解题思路的讲解。分类讨论思想作为一项数学最重要的解题方法之一，学生应该及早掌握并且做到熟练应用，只有这样才能够培养学生的数学的逻辑思维，才能够使得学生增强对数学的理解，最后使得初中数学教学效率得到显著提升。

一、分类讨论思想对于初中数学解题的重要意义

分类讨论思想主要是指在进行数学问题的解题过程中采用化整为零、积零为整的思想，运用归纳和整理的方法从而达到解决题目难的问题。对于初中数学中的题目使用单一的解题方法不能够达到解题的目的，而如果采用分类讨论思想，将一整个问题分解为单个的、比较简单的问题，然后再在进行解题，逐个击破，继而对各个小问题的结果进行归纳整理，最终得到正确的答案。分类讨论思想不仅解决了学生在审题之后无从下手的难题，还可以通过科学合理的分类讨论来培养初中学生的解题能力，增强初中学生对数学规律的理解。相较于审题之后直接进行整个题目的解答，分类讨论显得更为容易，这样一来，学生能够体验到数学解题中的乐趣，学生更容易投入到数学解题当中，增强学生的自主学习能力，从而增强数学教学的教学效率。

二、分类讨论思想在初中数学解题过程中的原则

学生在运用分类讨论思想进行解题的过程中需要坚持以下两方面要求：第一项要求便是同一性和相称性，在进行分类讨论前首先要明确所要讨论的对象，如果确定或者清楚讨论对象，分类讨论就不可能有序进行，在分类的过程中要保持一致的标准；第二项要求便是坚持互斥性以及多层次性，互斥性的意思主要是保持各个小问题不应该相互包含，必须互斥。多层次性主要是指在面对问题中需要进行多次分类的情况，需要坚持多层次性原

则，含义是利用二分法把同一层次中互相排斥的问题进行分类，以提高分类讨论的科学有序性。

三、分类讨论思想在初中数学中解题的具体应用

1.分类讨论思想在初中几何中的具体应用

例如，学生在解决和圆与圆的位置关系有关的问题时，学生可以按照两圆圆心之间的距离与两圆的半径长度关系进行比较来分类：圆与圆相离、圆与圆相交、圆与圆相外切、圆与圆相内切以及圆与圆内含五种位置关系，然后再考虑问题的解题思路，利用分类讨论思想来解决圆与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系是比较常见的解题思想。另外还有就是在求解三角形问题中利用分类讨论思想：

例1：在△ABC中，∠C=30°，AH是BC邊上的高，以及AH2=BH·HC，请问∠ABC的度数。

解析：经过审题之后，发现题目中并没有规定三角形形状，如果贸然直接求解往往会漏掉一解，因此在解题的时候应该分类讨论，根据题干要求可分类为三角形的高AH在三角形内部以及高AH在三角形的外部。当高在内部的时候，根据AH2=BH·HC这一典型的勾股定理可以进而判定该三角形为直角三角形，又因为∠C=30°，所以得到∠ABC=60°；当三角形的高在三角形的外部时，可以进而推断出该三角形为钝角三角形，然后根据AH2=BH·HC可以得出△AHC∽△BHA，所以∠ABC=∠BAH+∠AHC=120°。

在进行这类三角形相似问题解答运用分轮讨论思想的时候，主要需要考虑的便是三角形属于钝角三角形、锐角三角形还是特殊的直角三角形，所以学生的解题思路首先就是要对三角形进行分类讨论，然后在进行解题。

2.分类讨论思想在初中函数中的具体应用

初中函数问题中大多需要进行分类讨论，比如一次函数、二次函数的图象与坐标轴关系就需要学生进行清晰的分类讨论。

例2：己知函数y=（n-1）x2+（n-2）x-1，其中n为实数。若函数的图象与x轴只有一个交点，求解n的值。

分析：经过审题之后，发现直接求解并不容易，所以这道题需要采用分类讨论思想，根据二次函数性质可以分为两种情况：n-1=0以及n-1≠0，然后在进行n值的求解。当n-1=0即n=1时，该函数为y=-x-1，所以与x轴仅有一个交点（-1，0）；当n-1≠0时，该函数则是一个二次函数，由Δ=（n-2）2-4（n-1）（-1）=0得n=0。因此，抛物线y=-x2-2x-1的顶点为（1，0），位于x轴上方。综上所述，当n=0或n=1时，函数的图象与x轴只有一个交点。

分类讨论思想在初中数学中解题的应用对于提高学生数学解题能力，培养学生数学逻辑思维有着重要的意义。在解题过程中，根据题干信息选定分类标准，然后有序谨慎地进行分类，进而进行问题讨论，最终归纳总结得出最终答案。分类讨论思想并不仅仅是解决数学问题的一种方式，它更是一种了解数学的途径，有效掌握分类讨论对学生数学素养的提升有着重要的作用。

参考文献：

段素丽.初中数学例题教学有效性的思考[J].数学学习与研究，2012（4）.

编辑 马晓荣