朱宗华

(重庆市黔江中学校,重庆 409000)

斜面上的力学问题尤其是斜面与粗糙水平地面间有无静摩擦力,以及静摩擦力方向的判断是力学中最为典型的一类题目.这类题目不仅是高考考查的热点问题,同时也是学生望而生畏、不好掌握、得分相对较低的一类题目．笔者在《例谈斜面上的力学问题》一文的启发下,结合平时教学的思考,认为只要选对研究对象,理解问题的实质,就能快速解答相关问题．

图1

问题的提出:如图1所示,质量为M的斜面体静止在粗糙水平面上,斜面的倾角为θ,斜面体和小物块m之间的动摩擦因数为μ,在物块恰好沿斜面体匀速下滑的过程中,斜面与地面之间静摩擦力的大小和方向?

在判断斜面与地面之间有无静摩擦力及静摩擦力的方向时,通常有以下3种思路.

思路1:将m、M整体当作一个研究对象,因为这个整体在竖直方向上仅受整体的重力和地面对整体的支持力而处于平衡状态,所以地面对整体(斜面体)的支持力大小(M+m)g;整体在水平方向上不受任何外力作用,所以斜面体与水平地面之间无相对运动趋势,故斜面体与水平地面之间没有静摩擦力．

思路2:以物块m为研究对象,m在自身重力mg、斜面体M对m的支持力mgcosθ和滑动摩擦力μmgcosθ的共同作用下处于平衡状态．

由mgsinθ=μmgcosθ，得μ=tanθ.

因为m处于平衡状态,所以斜面M对m的作用力(即斜面对m的支持力和静摩擦力的合力)大小与m所受重力mg大小相等,方向竖直向上.由牛顿第三定律知:m对斜面的作用力大小也为mg,方向竖直向下,所以地面对整体(斜面体)的支持力大小为(m+M)g;m对斜面的作用力无水平作用效果,斜面水平方向又无外力作用,故斜面与水平地面之间没有静摩擦力．

思路3:以斜面体M为研究对象进行受力分析．

水平方向:因为m对M的压力mgcosθ的水平分力mgcosθ·sinθ恰好与m对M的滑动摩擦力μmgcosθ=mgsinθ的水平分力mgsinθ·cosθ等大反向,所以斜面体与水平地面之间没有静摩擦力．

由上述求解可知:

在图1所示前提条件下(m除受重力和与M相互作用外,不受其他外力作用):

如m和M间的动摩擦因数μ=tanθ,斜面与水平地面之间没有静摩擦力. 反之也成立:如斜面与水平地面之间没有静摩擦力,则μ=tanθ.

图2

例1.如图2所示,斜面小车M静止在粗糙水平面上,一边紧贴墙壁．若再在斜面上加一物体m,且小车M、物体m相对静止,此时小车受力个数为

(A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6.

解析:由上述讲解可知,小车与水平面间无静摩擦力,由平衡条件知,墙面对小车必无作用力.以小车为研究对象,它受重力Mg,地面的支持力FN1,物体对它的压力FN2和静摩擦力Ff,选项(B)正确．

图3

例2.如图3所示,质量为M足够长的斜面体始终静止在水平地面上,有一个质量为m的小物块在受到沿斜面向下的力F的作用下,沿斜面匀加速下滑,此过程中斜面体与地面的摩擦力为0．已知重力加速度为g,则下列说法正确的是

(A) 斜面体给小物块的作用力大小等于mg.

(B) 斜面体对地面的压力小于(m+M)g.

(C) 若将力F的方向突然改为竖直向下,小物块仍做加速运动.

(D) 若将力F撤掉,小物块将匀速下滑.

解析:因斜面体与地面的摩擦力为0,由以上分析可知:小物块和斜面体之间的动摩擦因数μ=tanθ,选项(A)、(D)正确．

图4

例3.如图4所示,斜面体A置于水平地面上,滑块B恰好沿A斜面匀速下滑.在对B施加一个竖直平面内的外力F后,A仍处于静止状态,B继续沿斜面下滑.则以下说法中正确的是

(A) 若外力F竖直向下,则地面对A有向左的静摩擦力作用.

(B) 若外力F斜向左下,则地面对A有向右的静摩擦力作用.

(C) 若外力F斜向右下,则地面对A有向右的静摩擦力作用.

(D) 无论F沿竖直平面内的任何方向,地面对A均无静摩擦力作用.

解析:设斜面的倾角为θ,因为滑块B原来恰好沿斜面匀速下滑,合力为0,由平衡条件得动摩擦因数μ=tanθ.由思路3可知:当加外力F时,无论F沿竖直平面内的任何方向,地面对A均无静摩擦力作用.故(A)、(B)、(C)均错误,(D)正确.

拓展1:如图1所示,在m沿静止斜面M匀加速下滑过程中,斜面与粗糙地面之间有无静摩擦力?如有,方向如何?

解析:以m为研究对象,沿平行于斜面方向,根据牛顿第二定律得

mgsinθ-μmgcosθ=ma>0，即

mgsinθ>μmgcosθ.

所以μ

由牛顿第二定律的矢量性可知，由于物体在斜面体上匀加速下滑,所以斜面M对物体m的作用力(即斜面M对m的支持力和静摩擦力的合力)与物体m所受重力的合力平行斜面体向下,可以得出斜面体对物体的作用力方向偏向竖直方向的左上方．由牛顿第三定律知,物体m对斜面体M的作用力方向偏向竖直方向的右下方．由于斜面体受到物体m偏向竖直方向的右下方的力的作用,故斜面体有向右运动的趋势,所以斜面受到地面的摩擦力方向向左．

同时因为μ

显然:在图1所示前提条件下(m除受重力和与M相互作用外,不受其他外力作用):如m和M间的动摩擦因数μ

反之也成立:如斜面与水平地面之间的静摩擦力水平向左,则μ

图5

例4.如图5所示,斜面体A静止放置在水平地面上,质量为m的物体B在外力F(方向水平向右)的作用下沿斜面向下做匀速运动,此过程中斜面体始终保持静止状态,则下列说法中正确的是

(A) 若撤去力F,物体B将沿斜面向下做加速运动.

(B) 若撤去力F,A所受地面的摩擦力方向向左.

(C) 若撤去力F,A所受地面的摩擦力可能为零.

(D) 若撤去力F,A所受地面的摩擦力方向可能向右.

解析:施加力F时,对物体B受力分析,根据平衡条件:斜面体A对B的支持力为

FN=Gcosθ+Fsinθ,

平行于斜面方向有

Fcosθ+Ff=Gsinθ,又因为Ff=μFN，

所以Gsinθ=μGcosθ+F(cosθ+μsinθ)>μGcosθ,

得μ

故若撤去力F,物体B所受合力沿斜面向下,物体将沿斜面向下做加速运动,A所受地面的摩擦力方向向左.选项(A)、(B)正确;

图6

例5.如图6所示,质量为M的斜面体静止在粗糙的在水平地面上．一质量为m的滑块沿斜面匀加速下滑,斜面体对地面的压力为F1;在滑块上施加一沿斜面向下的外力F,在物体沿斜面下滑的过程中,斜面体对地面的压力为F2．则

(A)F2>(M+m)g,F2>F1.

(B)F2>(M+m)g,F2=F1.

(C)F2<(M+m)g,F2>F1.

(D)F2<(M+m)g,F2=F1.

新解:因滑块在未施加外力F前沿斜面匀加速下滑,知M与m之间的动摩擦因数μ

拓展2: 如图1所示,在m沿静止斜面M匀减速下滑过程中斜面与粗糙地面之间有无静摩擦力?如有,方向如何?

解析:

以m为研究对象,沿平行于斜面方向,根据牛顿第二定律得

μmgcosθ-mgsinθ=ma>0,mgsinθ<μmgcosθ.

所以μ>tanθ.

由牛顿第二定律的矢量性可知:由于物体在斜面体上匀减速下滑,所以斜面M对物体m的作用力(即斜面M对m的支持力和静摩擦力的合力)与物体重力的合力平行斜面体向上,可以得出斜面体对物体的作用力方向偏向竖直方向的右上方．由牛顿第三定律知,物体m对斜面体M的作用力方向偏向竖直方向的左下方．由于斜面体受到物体m偏向竖直方向的左下方的力的作用,故斜面体有向左运动的趋势,所以斜面受到地面的摩擦力方向向右．

同时因为μ>tanθ,m对M的压力mgcosθ的水平向右的分力mgcosθ·sinθ小于m对M的滑动摩擦力μmgcosθ的水平向左分力μmgcosθ·cosθ,两者水平分力的合力水平向左,也能得出斜面受到地面的静摩擦力方向水平向右,大小为mgcosθ·sinθ-μmgcosθ·cosθ．

同理可得: 在图1所示前提条件下(m除受重力和与M相互作用外,不受其他外力作用):如m和M间的动摩擦因数μ>tanθ,斜面与水平地面之间的静摩擦力水平向右.

反之也成立:如斜面与水平地面之间的静摩擦力水平向右,则μ>tanθ.

图7

例6.如图7所示,斜面体A静止放置在水平地面上.质量为m的滑块B在外力F1和F2的共同作用下沿斜面体表面向下运动.当F1方向水平向右,F2方向沿斜面体的表面向下时斜面体受到地面的摩擦力方向向右.则下列说法中正确的是

(A) 若同时撤去F1和F2,在滑块B仍向下运动的过程中,滑块B的加速度方向一定沿斜面向上.

(B) 若只撤去F1,在滑块B仍向下运动的过程中,A所受地面摩擦力的方向可能向左.

(C) 若只撤去F2,在滑块B仍向下运动的过程中,A所受地面摩擦力的方向一定向右.

(D) 若只撤去F1,在滑块B仍向下运动的过程中,A所受地面摩擦力不变.

新解:该题的题眼为斜面体受到地面的摩擦力方向向右,说明AB之间有滑动摩擦力,且动摩擦因数μ>tanθ,B对A的滑动摩擦力的水平分力大于B对A的压力的水平分力,只撤去F1,在滑块B仍向下运动的过程中,A所受地面摩擦力的方向不变,仍然向右．但由于滑动摩擦力与弹力的水平分力均减小,合力减小,与之相平衡的静摩擦力大小减小,选项(A)、(C)正确,(B)、(D)错误．

虽然解答此类题目的方法较多,但笔者认为只有思路3才真正抓住了地面和斜面体之间有无静摩擦力的实质,无论m在M上的运动状态如何,受力情况如何变化,斜面与水平地面之间有无静摩擦力均取决于动摩擦因数为μ与tanθ的相对大小而导致m对M的压力的水平分力与m对M的静(或滑动)摩擦力的水平分力的相对大小．如两者相对大小相等,合力为0,则无静摩擦力,反之如两者合力不为0,则有静摩擦力．推而广之,上述3类情型中如因m受力情况发生变化而引起压力和滑动摩擦力同时成比例(比例系数为动摩擦因数μ)变化,但只要动摩擦因数μ与tanθ的相对大小一定,两者水平方向分力的相对大小不会变化,地面对斜面的静摩擦力的大小可能变化而方向绝不会变化．如此,相关题目可快速准确求解．

图8

例7.一斜劈A静止在粗糙的水平面上,在其斜面上放置一滑块B,若给滑块B一平行斜面向所下的初速度v0,则B恰好保持匀速下滑,如图8所示,现在B下滑过程再加个一作用力,则以说法正确是

(A) 在B上加竖直向的力F1,则B将保持匀速运动,A对地无摩擦力作用.

(B) 在B上加一沿斜面向下的力F2,则B将加速运动,A对地有水平向左的静摩擦力作用.

(C) 在B上加一水平向右的力F3,则B将减速运动,在B停止前A对地有向右的静摩擦力作用.

(D) 无论在B上加什么方向的力,在B停止前A对地都无静摩擦力作用.

答案:(A)、(D)．

终上可知:在解答斜面与粗糙水平地面间有无静摩擦力类问题时,如能抓住产生静摩擦力的实质和影响静摩擦力大小的原因,就可避免解题时思维的紊乱和解题过程中繁锁的数学运算,快速准确地得出结果,极大的提高解题效率．