李波　张晓斌

[摘 要] 导函数题型是近几年高考数学的热点、难点，在省市自主命题试卷、全国卷中占据着难度制高点，承担着试卷区分度使命. 在高考的导函数题型中，主要考查导数的定义、复合函数求导、运算法则、极值、单调区间、几何意义、零点、极值点偏移等知识.因此，研究高考导函数经典题型，对各类别题型模式进行探究，对高考复习有着重要的作用.

[关键词] 复合函数；二阶求导；洛必达法则；函数零点

问题背景

从2016年开始，包含重庆在内的部分省市，由原来的自主命题转入全国卷. 对我们一线教师如何复习、如何备考以及教师的专业素养等方面都提出了新的要求，特别是在压轴题的考查上：以重庆为例，自主命题主要考查圆锥曲线、不等式及数列等知识的综合，而全国卷命题主要在导数这个模块上立意创新. 笔者通过对近几年全国卷、部分省市自主命题试卷导数试题进行研究，对部分题型模式进行探究.

模式探究

1. 挖掘题目结构特征，构建新函数

对学生复合函数求导的运算规则的考查：

（f（x）±g（x））′=f ′（x）±g′（x），（f（x）·g（x））′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x），

′=·（g（x）≠0）.

特別是对f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）与f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）这一结构特征的认识，联想到构建复合函数. 在考查中，还常常对这一结构进行逆向考查.

例1 （2015年课标卷Ⅱ理科12题）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf′（x）-f（x）<0，则使f（x）>0成立的x的取值范围是（ ）

A. （-∞，-1）∪（0，1）

B. （-1，0）∪（1，+∞）

C. （-∞，-1）∪（-1，0）

D. （0，1）∪（1，+∞）

解析：①条件“当x>0时，xf′（x）-f（x）<0”的应用：xf′（x）-f（x）与f′（x）g（x）-f（x）·g′（x）结构类似，容易联系到复合函数求导公式′=，令h（x）=（x>0），h′（x）=<0h（x）在（0，+∞）单调递减.

②条件“奇函数f（x）（x∈R）”的应用：函数h（x）=（x≠0）的奇偶性由y=f（x）奇函数和y=x奇函数决定，h（x）为偶函数，图像关于y轴对称.

③条件“f（-1）=0”的应用：函数h（x）=（x≠0），则h（-1）=h（1）=0.

由以上探究分析，可描绘出h（x）的大致图像，由图像可以看出：

x>0，f（x）>0，则h（x）>0（0，1）；

x<0，f（x）>0，则h（x）<0（-∞，-1），选A.

评注：①对条件“当x>0时，xf′（x）-f（x）<0”的应用是解决此类题目的关键，也是学生的难点所在；②我们常说“数形结合”，但何时需要采用“数形结合”？在典型例题的讲解过程中，需要教师点拨到位.

练习：

1. 设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有xf′（x）+2f（x）>x2，则不等式（x-2015）2f（x-2015）-9（3）>0的解集为（ ）

A. （0，2018）

B. （2018，+∞）

C. （0，2015）

D. （2015，+∞）

2. 定义在0，上的函数f（x），f′（x）是它的导函数且恒有f（x）

A. f>f

B. f（1）>2fsin1

C. f>f

D. f

模式探究：利用题目结构特征构造新函数过程中，特别注重（xn）′=nxn-1，（ex）′=ex，（lnx）′=，（lnsinx）′=等结构的认知，以及简单复合函数的求导关系，结合函数单调性、奇偶性等性质，给题目的解决创造条件.

2. 活用二阶求导，易断函数单调性

函数单调性的判断，常涉及参数的分类讨论，这类问题是学生比较棘手的.如果我们在求导之后，直接判断导函数的正负，会遇到参数分类讨论的瓶颈. 如果我们在导函数的基础上再次求导，即二阶求导，再来判断导函数的单调性，则问题会简单许多.

例2（2015年课标卷Ⅱ理科21题） 设函数f（x）=emx+x2-mx，证明：f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增.

解析：①直接讨论：f（x）=emx+x2-mxf′（x）=m（emx-1）+2x，判断f′（x）的正负.

当x∈（0，+∞）时，2x>0，只需m（emx-1）>0，对m的正负讨论.

若m≥0时，emx-1>0，则m（emx-1）≥0.

若m<0时，emx-1<0，则m（emx-1）>0.

所以，f′（x）=m（emx-1）+2x≥0f（x）在x∈（0，+∞）单调递增.

当x∈（-∞，0）时，略.

②二阶求导：f（x）=emx+x2-mxf′（x）=m（emx-1）+2xf′′（x）=（m（emx-1）+2x）′=m2emx+2≥0，f′（x）在R上单调递增，且f′（0）=0.

则x∈（-∞，0），f′（x）<0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞），f′（x）>0，f（x）单调递增.

评注：①直接分类讨论，学生对解题切入点较难把握，因为求导之后的式子为因式分解的结构，再判断符号的题型较为熟悉，而此题求导之后为多项式相加，再判断符号，对学生思维提出了新的要求；②二阶求导的正负可以判断导函数的增减，也可以判断原函数图像的凹凸性，对函数图像问题的解决也有帮助.

练习：

1. （2013年课标卷Ⅱ理科21题）已知函数f（x）=ex-ln（x+m），设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性.

2. （2012年课标卷Ⅰ理科21题）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+x2，求f（x）的解析式及单调区间.

模式探究：函数单调性问题，利用好导数这一工具，何时函数整体求导、何时函数解析式中部分结构求导、何时二阶求导，要根据具体题目的特点来决定，这对学生读题、识题能力有较高的要求.

3. 借用洛必达法则，巧解含参问题

高考对含参问题的考查比较深入，若用方类讨论来求解，分类的情况较多，易出现讨论不完全或漏解的情况，对学生的综合素质要求较高. 对大部分考生来说，是困难的.结合新课程改革的要求：2020年文理不分科，数学以A、B、C、D、E模块的形式考查，极限知识又将回归到高中教材的前提下，通过介绍极限的方法，把洛必达法则，“借”用到高中，也算一种策略.

此类含参题目结构特点：变量分离a≤a≤

其中f（x）=g（x）=0；U°（a）内，f′（x）和g′（x）都存在，且g′（x）≠0；=A==A，

高中主要考查或型，函数y=的最值在区间端点、断点及±∞处取到时用洛必达法则较实用.

例3 （2014年课标卷Ⅱ理科21题）已知函数f（x）=ex-e-x-2x，设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值.

解析：g（x）>04b（ex-e-x-2x）

记q（x）=ex-e-x-2xq′（x）=ex+e-x-2≥0在x∈（0，+∞）恒成立，且q′（0）=0.

q（x）=ex-e-x-2x>0在x∈（0，+∞）恒成立.

g（x）>0b<=h（x）在x∈（0，+∞）恒成立，需求h（x）的最小值，考虑到h（0），h（+∞）都无意义，所以用洛必达法则求极限.

h（x）====（ex+e-x）=2，

h（x）====（ex+e-x）=+∞.

下证：h（x）>2在x∈（0，+∞）成立？坩h（x）>2？坩>2？坩e2x-e-2x-4x-8（ex-e-x-2x）>0.

记q（x）=e2x-e-2x-4x-8（ex-e-x-2x），x∈（0，+∞）.

q′（x）=2e2x+2e-2x-8（ex+e-x）+12=2（ex+e-x）2-8（ex+e-x）+8=2[（ex+e-x）-2]2>0，q（x）在x∈（0，+∞）单调递增，q′（0）=0，则q（x）>0在x∈（0，+∞）成立. h（x）>2得证. 故b≤2.

评注：①利用变量分离的思想，把含参问题转化为函数求最值的问题；②在定义域内求出函数的极值，在断点、端点处的极限值（或函数值）；③找到函数的最值，一般采用分析法证明.

练习：

1. （2010年课标卷Ⅱ理科22题）设函数f（x）=1-e-x，设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围.

2. （2011年课标卷Ⅱ理科21题）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0，如果当x>0，且x≠1时，f（x）>+，求k的取值范围.

3. （2016年全国卷Ⅱ文科）已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），若当x∈（1，+∞）时，f（x）>0，求a的取值范围.

4. （2016年四川文科）设函数f（x）=ax2-a-lnx，g（x）=-，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数，确定a的所有可能取值，使得f（x）>g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.

模式探究：洛必达法则的应用，对含参问题的解决提供了一条途径，解题过程中要求学生对变量分离的思想、极限思想、数学猜想的证明思想等数学思想和综合技能有较好的掌握.

4. 注重模块化分离，利于探讨零点问题

零点问题常考常新. 通过对函数求导以进一步探究函数单调性的过程中，常常将y=ex，y=lnx，y=x2等有保号功能的初等函数进行模块化处理，放在一边单独讨论，必要时还会辅以数形结合思想，对问题的解决，既直观形象，又事半功倍.

例4 已知函数f（x）=x2+-alnx（a∈R），a>0时，若f（x）有唯一的零点x0，求[x0].

注：[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]=0，[2.1]=2，[-1.5]=-2.

参考数据：ln2=0.693，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946.

解析：f（x）=x2+-alnxf′（x）=（x>0），

（x2>0，分子模块化，单独讨论）令g（x）=2x3-ax-2，则g′（x）=6x2-a.

由于a>0，令g′（x）=0，可得：x=，

所以g（x）在0，上单调递减，在，+∞上单调递增.

由于g（0）<0，故x∈0，时，g（x）<0，

又g（1）=-a<0，故g（x）在（1，+∞）上有唯一零点，设为x1，

从而可知：f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增.

由于f（x）有唯一零点x0，故x1=x0，且x0>1，

故f（x0）=0，g（x0）=0， 即：x+-alnx0=0，2x-ax0-2=0， 消去a可得：2lnx0--1=0①.

令h（x）=2lnx--1，可知h（x）在（1，+∞）上单调递增，

由于h（2）=2ln2-<2×0.7-<0，h（3）=2ln3->0，

故方程①的唯一零点x0∈（2，3），故[x0]=2.

评注：①x2>0具有保号功能，单独讨论分子；②由分子导数的正负来判断f（x）的单调性，确定零点；③由原函数和新构建函数建立方程组，估算零点取值范围.

练习：

1. 已知函数f（x）=-x-+2e有且只有一个零点，则k的值为（ ）

A. e+ B. e2+

C. e2+ D. e+

2. （2015年课标卷Ⅱ文科21题）设函数f（x）=e2x-alnx，讨论f（x）的导函数f′（x）的零点个数.

3. （2016年全国卷1文科）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，若f（x）有兩个零点，求a的取值范围.

4. （2016年全国卷Ⅰ理科）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点，设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2.

5. （2016年北京文科）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c，设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围，求证：a2-3b>0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件.

6. （2016年江苏）已知函数f（x）=ax+bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1），若01，函数g（x）=f（x）-2有且只有1个零点，求ab的值.

模式探究：零点问题常转化为图像问题，用导数工具，一阶求导判断函数图像的单调性、二阶求导判断函数图像凹凸性等基本信息，使图像问题更加清晰，从而更有利于解决零点问题.

结语

本文主要对导函数部分题型模式进行探究，导函数作为高考压轴题是不断变化的，难度也在增加. 在高考复习中，我们应引导学生充分挖掘导数的定义、几何意义以及对函数单调性深刻作用的题目特点，层层递进，步步深入，探究各类别题型模式，总结不同的解题策略.