☉江苏省苏州工业园区娄葑学校 彭聪聪

引例是否存在平方和等于1600的两个自然数？

设满足条件的两个自然数分别为x，y，则x2+y2=1600.

或许你会想到从简单自然数的平方和入手：12+22=5，22+32=13，32+42=25等.可1600这个数字有点大了，想把它拆成两个自然数的平方和并不是一件容易的事.能否把1600变小些？比如变成5或13或25等这些比较小的数，

变换称为二元代换.若将x=u+v，y=u-v代入x2+y2=1600，得（u+v）2+（u-v）2=1600.整理得u2+v2=800.

我们发现，虽然仍是平方和形式，但常数减小了一半，这可是个可喜的兆头！我们不妨如法炮制下去.

上面在求x2+y2=1600的自然数解的过程中，通过二元代换这个数学手段，不断地将原方程的常数项减半，使原方程变得越来越简单，变得一眼就可以看出它的自然数解，这实际是一种退步思考问题的方法.

遇到一道较难的数学问题，我们应该怎么办？我国著名数学家华罗庚告诫我们：一个好的办法是“退”，从一般退到特殊，从复杂退到简单，退到你会做、能下手的问题上.我们把这种思考数学问题的方法叫做“退步思考”法.华罗庚的“帽子问题”是就是一道利用“退步思考法”解决数学问题的典范.正如我们在跳远的时候，为了跳得更远，我们在跳远时总要从沙坑边后退一段，然后再起跳.表面上看往后退离目标更远了，这样做正是为了跳得更远，是“以退为进”.下面我们通过实例说明“退步思考”法在数学解题中的应用.

一、从图形一般位置退到特殊位置

许多几何问题给出的图形都具有一般性，蕴含在其中的数量关……