李久省?张程艳?杨柳

【摘 要】随着社会与科学技术不断发展，课程改革在不断推进，从数学学科素养的提出到2017年版《普通高中数学课程标准》的确定，更加明确了高中数学教育要以学生发展为本，注重信息技术与数学课程内容的整合。在北京市“十二五”规划立项课题“信息技术条件下，基于课堂实践教学的高中数学自主性学习方式的实验研究”中，课题组立足于高中数学课堂教学，利用信息技术资源开展探索实践，对数学信息技术手段下，培养高中生的数学自主学习能力进行了实践与思考。

【关键词】信息技术 自主学习 高中数学

李久省

北京市特级教师、正高级教师、国家级骨干教师。北京二十中学数学教研室主任。北京市学习科学学会数学专业委员会理事、海淀区高中数学总督学、海淀区高中数学教研基地首席教师、海淀区名师工作站导师、海淀区兼职教研员。曾参编《人教社B版高中数学教科书》《北京市高中数学补充教材》等教科书，有十余篇教育教学论文在数学期刊上发表并获奖。

一、信息技术下，以学生发展为本的高中数学教学

《普通高中数学课程标准（2003年版）》数学课程理念中提出要倡导积极主动、勇于探索的学习方式；注重提高学生的数学思维能力。在课程目标中提到要提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度[1]。随着时代与科学技术的发展，课程改革也逐步推进，新课程改革的重点之一是如何促进学生学习方式的变革，教学现状也亟须学生学习方式的转变。《普通高中数学课程标准（2017年版）》中提出，高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培养和提高学生的数学核心素养。提倡独立思考、合作交流等多种学习方式，重视数学建模和数学探究活动，促进学生应用能力和创新意识的发展，注重信息技术与课程内容的整合，提高教学的实效性[2]。对于学生自主学习能力的培养，是学生以原有的知识为基础进行主体建构的：学生对老师讲授的知识和研究方法敢于质疑，大胆发表不同的见解，使学生的发散思维能力得到提高。

在信息技术的支持下，信息化教学模式的开放性给高中学生提供了自主学习的空间。一方面，它使得数学教学为学生创设出生动、直观、形象的感知环境，增强学生的主观能动性，促进学生思维的发展；另一方面，学生能够自主处理复杂的数据和运动图形，在操作的过程中，其观察能力、实践能力都得到了相应的提高，这更加有利于学生认识数学的本质，学习兴趣和积极性得到了调动，使学生产生了强烈的学习欲望，提高了高中学生对于数学的自主学习能力。

二、信息技术条件下，高中数学自主学习能力培养的具体实践与探索

在北京市“十二五”规划立项课题“信息技术条件下，基于课堂實践教学的高中数学自主性学习方式的实验研究”的课题背景下，我校课题组的老师们利用学校提供的数字化校园网络平台和多功能数学实验室，发挥教育智慧，在对高中数学教学内容和数学信息技术手段的应用与理解的基础上，在四年中，开展了一系列的实践活动。

1.信息技术应用于数学概念理解

高中数学的特点之一是学习内容抽象化，很多学生对于数学概念的认识只流于表面，并容易套路化。而借助信息技术手段，抽象、难理解的问题可以变得直观形象，学生可以在理解数学概念的基础上，更好地进行应用，这样就促进了学生学习的主动性，思维活动也更加活跃，能够为自主学习能力的培养打下基础。

立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质，从平面过渡到立体，这需要丰富的空间想象能力和平面与空间图形的转化能力。在立体几何学习之初，在数学模具的基础上，可以应用几何画板等信息技术手段将几何体从不同角度旋转起来，动态生成几何体或展开图，演示柱锥体积的三倍关系等（见图1、图2），帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到发展。

导数是高中数学的重点学习内容之一，是微积分的核心概念，但由于涉及极限等高等数学知识，导数的有关知识无法在高中阶段做出严谨的说明，需要学生想象与感受。如曲线的切线，这个定义与初中的知识“有一个交点就是切线”这种直观理解的差别可以在几何画板的辅助下，体会割线到切线的极限过程，便于学生理解（见图3、图4）。

对于学生不好理解的三角函数、指数函数、对数函数的导函数公式等也都可以借助几何画板或图形计算器，根据导数的定义或几何意义直观画出导函数的图象（见图5、图6），这样会令学生容易接受，也提高了学生自主动手研究的兴趣。

2.信息技术手段下的探究式学习

为了更好地培养学生的自主学习能力，需要加强实践环节，让学生独立面对一个真正的数学对象，展示实质性的研究活动，这就需要依靠信息技术。信息技术的加入，使学生自己动手探究成为可能，从而在探究活动中体会并学习运用科学的思维方法解决问题。在课题研究过程中，我们构建了信息技术环境下，从课内到课外，以培养学生数学自主学习能力为宗旨、以数学实验教学为主要手段、以学生课后体验感受为主要评价方式的高中数学教学模式。这种教学模式可表述为“引入问题——学生自主实验探究（利用几何画板、图形计算器等）——自主发现结论——科学论证——应用拓展——归纳评价”6个环节。在实际的教学过程中，教师根据教学内容、实验目标及高中生的认知水平，有计划、有侧重地运用信息技术，让学生通过自己动手操作，进行探究、实践、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得对概念的深化理解和数学问题的解决。在这个过程中，教师更多的是做问题引导和启发，处于主导地位，而学生处于主动学习的地位。

（1）课内探究式学习实践

函数是高中数学的重要主线之一，也是学生学习难点比较多的地方，而几何画板和图形计算器强大的作图功能可以帮助学生理解函数，充分调动学生自身的“数学观察”能力与思维能力，从中发现规律与性质，进而解决函数有关问题。

在幂函数教学中，我们让学生借助信息技术做出已经接触过的幂函数图象，并观察这些函数图象的特点，得到这些幂函数的性质以及它们之间的联系，学生分析讨论给出指数对幂函数的影响，通过不断改变指数的值，先猜想幂函数的图象，再借助信息技术手段验证猜想（见图7）；而在指数函数的教学中，可以让学生借助信息技术作出不同底数值的指数函数图象，自主探索底数对函数的图象与性质的影响（见图8）。

平面解析几何是高中数学的另一个重要主线，特别涉及轨迹问题时，需要依靠想象，这成为学习的一个难点。在信息技术特别是几何画板和图形计算器的支持下，动点轨迹问题变得动态直观，学生可以通过自己动手操作，观察动点轨迹，再理论论证。

在圆锥曲线的教学中，给出它们的定义，让学生借助信息技术手段探究出轨迹，通过让学生亲身体验，感受定义的要素，并从中体会应用数学知识、数学思维解决数学问题（见图9）。进一步，在圆锥曲线定义的基础上，可以探究到两定点距离之比是定值的轨迹（见图10）。

在课堂教学中引入信息技术，让学生亲自动手操作获得动点的轨迹，进而改变参数的值，关注轨迹的变化，轻松获得相应的轨迹图象，来解决计算烦琐和作图困难的问题。这样可以引导学生探索、猜想和发现其中的规律和性质，进而引发自主的理性的证明与思考。

（2）课外探究式学习实践

课外探究式学习实践是指非正常数学课所进行的学习实践，主要以兴趣小组或选修课的形式开展。我们在高二年级开设了校本选修课“几何画板”和“图形计算器”。在探究活动中，老师负责探究的内容、学习和组织，学生自己合作讨论、动手探究，培养学生的自主探究能力和创新能力。

在几何画板选修课中，教师考虑到圆锥曲线的轨迹定义法生成过程过于突兀，缺少具体应用，便通过指导学生用几何画板做出折纸的动态图，帮助学生强化概念的几何属性，体现了数形结合的数学思想方法（见图11）。

在图形计算器选修课中，学生借助图形计算器动手解决木杆过拐角的实际问题，抽象出实际问题的数学背景——定长线段滑动，从定长线段上点的轨迹探究到观察线段的滑动情况，进而解决通过给定拐角的木杆的最大长度（见图12）。

学生体会一：“通过几何画板的学习，我发现几何画板是我所见过的众多教学软件中最特殊的一个。严格地说，几何画板是学习探究的工具。我觉得几何画板能让我们对一些几何难题有更深的理解。还能让我们对一些未知的函数图象或者是几何图形有更好的探索方式，让我们渐漸培养出一种几何意识。”

学生体会二：“经过一段时间的选修课学习，现在我已经可以使用图形计算器去验证自己的部分猜想。尽可能地使用其数据处理功能、函数功能、图形功能、简单编程功能。可以更加直观地绘制各种图形，通过动态演示、跟踪轨迹来更加快捷地验证自己的猜想。”

信息技术和数学课程的结合，能将复杂抽象的数学概念变得生动形象，提高了学生学习数学的兴趣，将课堂真正交给学生，学生由被动的“听”数学转为主动的“做”数学，让学生更想学、更会学。

三、信息技术条件下，培养高中生数学自主学习能力的思考

1.由信息技术支撑的数学实验课堂教学模式，使学生的自主学习成为重要的学习方式，学生真正成为了学习的主体。

2.课题实践证明，信息技术支持下的高中数学自主性学习，使学生不再仅仅是“听”数学，而是通过“做”数学，获得数学学习的亲身体验和深刻感悟，领会到数学的作用与价值。这也是数学学习方式转变的具体体现，只有通过让学生经历“做”数学的过程，才能培养学生的数学学习能力以及发现和解决问题的综合能力。借助图形计算器、几何画板及其他现代信息技术，能够化抽象为具体、化静为动，可以最大限度地发挥学生的积极性、主动性与创新性，更好地发挥教师的引导、调节作用与创新精神。

3.信息技术条件下，培养学生自主学习能力对教师提出了更高的要求。因此，教师更要善于学习，勤于探索，大胆尝试，要不断提高自身的教育理论素养和专业知识水平，更重要的是提高自己运用信息技术的技能和实际教学的能力。

信息技术不仅能够提高课堂教学质量，而且还能使学生的学习活动不受时间和空间的限制，改变传统教学中学生被动接受的单一方式，逐渐形成富有启发性、探究性、开放式、个性化的学习局面。信息技术的运用，更有利于学生自主学习能力和创新思维能力的提高，更有利于创新型人才的培养，为学生们的终身学习奠定基石！

参考文献

[1] 普通高中数学课程标准（2003年版）[M]. 北京： 人民教育出版社， 2004： 1-4.

[2] 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京： 人民教育出版社， 2018： 2-3.

本文系北京市“十二五”规划立项课题“信息技术条件下，基于课堂实践教学的高中数学自主性学习方式的实验研究”成果。课题编号：AJA14183。课题组成员名单：李久省（负责人）、张程艳、王晓青、李明燕、伊红旗、吴雅萍、王瑞群、龚禹、付莉、杨柳、付静、马可、罗艳、李晓龙、刘颖。

（作者单位：北京市第二十中学）

责任编辑：孙昕

heartedu_sx@163.com