袁天雨

【摘要】数学研究的是高度抽象了的东西，数学发展所依赖的数学思想是推动数学前进的本质源头，当代从事数学教育的一线教师需在课堂教学中引导学生会用数学的思维来认识数学的本质，这就要求教师在知识传授中注重数学思想方法的教学.

【关键词】数学思想；数学本质；抽象

关于数学是什么可以说是众说纷纭，但数学以其独有的形式存在于我们身处的客观世界，并服务于人类的进步和发展这一点毋庸置疑，在当代的中国数学教育，处在一线的数学教育工作者，应当肩负起对数学文化，数学思想的传播和发展的重任，特别是要从原有固定模式的课堂教学中解放出来，这里所说的数学的基本思想无外乎史宁中先生所归纳的：抽象，推理，模型.[1]教师以数学的基本思想为依据，不断渗透各知识之间的相互关联，并在知识的传授中注重学生对知识的理解，而非规律与知识本身，要教会学生从思想中获得方法，从知识中追溯本质，使学生达到我们所期望的或可预见的数学素养，本文以高中必修5的余弦定理为例来浅谈数学思想方法的教学实例，望能供广大一线教师予以参考.

一、转化的思想方法

转化的思想方法是将未知的问题转化为已知的问题，究竟什么是转化的思想呢？它的本质是什么呢？张奠宙和过伯祥先生曾形象地描述过转化的方法，转化的方法就是，将一个问题A进行变形，使其转化为另一已能解决的问题B，既然B已可解决，那么A也就解决了.[2]在余弦定理的教学设计中，可以向学生先提出问题：如何运用三角形的三边长来确定一个三角形的形状呢？之前我们学习过向量的知识，向量中的三角形法则是不是可以把三角形的三边转化为向量表示呢？接下来演示用向量法推导余弦定理.

证明设CB=a，CA=b，AB=c，那么c=a-b，

|c|2=c·c=（a-b）·（a-b）=a·a+b·b-2a·b

=a2+b2-2abcosC.

同理可证出a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB.

二、分类讨论的思想方法

分类讨论的思想方法是把一个数学研究对象剖析，从一点或者一面来分开讨论，进而得到关于这个问题的整体性结果[3]，一味强调“因题解题，遇法而授”的思想是不正确的，那么在教师传授知识的同时，如何理解和认识分类讨论思想的本质，如，在讨论三角形的相关问题时，一般情况下我们把对于三角形的讨论分为三个点面的讨论，即锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，通过这三个点面的划分，进而得到关于三角形相关的一般结论[4]，下面基于分类讨论的思想方法给予余弦定理的参考证明.

证明（1）当∠A是直角时，b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos90°=b2+c2=a2，可知结论成立.

图1

（2）当∠A是锐角时，如图1所示，过点C作CD⊥AB，交AB于点D，则在Rt△ACD中，AD=bcosA，CD=bsinA.

从而，BD=AB-AD=c-bcosA.

在Rt△BCD中，由勾股定理可得

BC2=BD2+CD2=（c-bcosA）2+（bsinA）2

=c2-2cbcosA+b2，

即a2=b2+c2-2bccosA.

图2

（3）当∠A是钝角时，如图2所示，过点C作CD⊥AB，交BA延长线于点D，则

在Rt△ACD中，

AD=bcos（π-A）=-bcosA，

CD=bsin（π-A）=bsinA.

从而，BD=AB+AD=c-bcosA.

在Rt△BCD中，由勾股定理可得

BC2=BD2+CD2=（c-bcosA）2+（bsinA）2

=c2-2cbcosA+b2，

即a2=b2+c2-2bccosA.

综上（1）（2）（3）可知，均有a2=b2+c2-2bccosA成立.

三、类比的思想方法

数学中类比的思想方法始终贯穿着整个数学的发展历程，我们从外部世界高度抽象出的一些数学概念，通过类比得到相似事物的某些一致性特征，并通过研究的结果来探讨与未知事物的关联，进而抽象又抽象地发现新的事物，那么在数学教学中类比的方法又该如何传授给学生？显然，教师需将正弦定理与余弦定理联系起来，那么我们是否能用正弦定理来认识和推导余弦定理呢？这就是类比的思想方法，下面基于类比的思想方法予以余弦定理的参考证明.

在△ABC中，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.

于是，a2=b2+c2-2bccosA

4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C-8R2sinBsinCcosA

2sin2A=2sin2B+2sin2C-4sinBsinCcosA

2sin2A=2-cos2B-cos2C-4sinBsinCcosA

2-2cos2A=2-2cos（B+C）cos（B-C）-4sinBsinCcosA.

由于cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA，因此，

cos2A=cos（B+C）cos（B-C）+2sinBsinCcosA

cosA=-cos（B-C）+2sinBsinC

cosA=-cosBcosC+sinBsinC=-cos（B+C）.

这显然成立.

即，结论成立.

四、結语

本文通过对数学思想方法的浅谈分析，望能对广大一线教师的教学予以参考意义，同时也希望我们的数学教育能基于数学本质，数学思想方法，以培养学生的数学兴趣，数学意识与数学应用能力为核心，不断推进我国教育事业的蓬勃发展.endprint