安柯墁

摘 要：数是对一些事物、现象，或抽象概念的符号表达。中小学数学中学习了实数和复数。主要阐述实数中有理数的产生、发展和代表的意义，并简单地介绍实数中的无理数及复数。

关键词：计数；抽象；对应；自然数；分数

数是什么？浏览中小学数学教材，对数的认识不断深入，数代表的意义越来越抽象化，数域慢慢扩大。下面，按照中小学对数认识的顺序来谈谈中小学数学中学了哪些数，这些数表示的意义是什么？为什么这样表示？

一、自然数

自然数是对自然界中的实物进行抽象对应的符号，而抽象对应的方法又在不断的改进中，所以要深层次理解数的意义，必须要了解数产生的历史和计数原理。

远古时代，为了记录劳动成果，人们发明了石子计数、结绳计数、刻痕计数。以一群羊为例，一头羊对应一个石子，绳结或刻痕。一头羊有众多的属性，羊角的形状，羊毛的长短等，这样计数，依据的是羊的什么属性呢？（1）羊的独立性，每一只羊是独立的。（2）羊的整体性，以一整只羊为一个单位。（3）计数的群体具有相同的属性。计数的方法是一对一的抽象对应。

人类在不断发展，需要记录的数越来越大，于是增大了计数单位，以一个大的石子代表十只羊或者更多，尽管这样，原始的计数方法还是有很多不足之处，人们就发明了一些文字符号，如阿拉伯数字并且沿用至今。

对比古代计数方法和阿拉伯数字，所依据的羊的属性相同，其计数的对应方法不同。古代计数方法是每一只羊对应一个相同的计数符号，加大了计数单位后，对于大的数还是需要繁多的计数符号；阿拉伯数字中，一只羊对应数字“1”，两只羊对应数字“2”，以此类推，阿拉伯数字用不同的简化符号来对应不同的羊。这样就大大简化了计数的文字符号，阿拉伯数字的位值法，增大了计数单位，能表示很大的数，又便于理解和记录。

阿拉伯数字对应的事物满足独立性、整体性（单个事物的整体性作为最基本的计数符号，多个事物又可以看做新的整体对应一个计数符号）和相同属性。例如，一片果林的苹果，一个学校的学生，一个人体内的某细胞……这些事物，我们都可以用一些抽象符号来与之对应。

数的发展初期就是对这些自然界中实际存在的事物进行抽象对应的符号，所以这些数被人们称作自然数。

后来人们用“0”来对应没有任何事物的情况，并把它归纳为自然数。具体代表没有什么事物，要依据所研究的对象了，“0”作为一种最特殊的状况，在实际研究过程中，都会作为一个特例拿出来单独讨论。

二、分数

自然数和分数的本质区别在于，自然数与分数分别体现事物的整体与均分的思想。均分也要选择一定的整体作为基础，以一堆西瓜为例，首先它满足自然数计数的三点：独立性、整体性、相同属性，因此，它可以计作“0，1，2，3，4…”，那么，被分成块的西瓜用什么符号来表示呢？于是人们发明了分数。

把西瓜分成八份，取一份对应符号“1/8”（此分数的计数单位），取两份对应符号“2/8”，以此类推，取八份对应符号“8/8”，以自然数计数也可对应“1”。

对于这类均分的事物，就可以用分数来对应，分数就是这些事物对应的抽象符号。这些事物同样满足独立性、整体性、相同属性。

小数作为一种特殊的分数，其计数单位为：“1/10，1/100，1/1000……”为什么有了分数，还要发明小数呢？在计算和解决一些实际数学问题过程中，分数有诸多不便的地方：（1）有些事物不能清楚地知道被均分成了多少份而取了几份。（2）分数单位不统一带来的不便。因此发明了小数，小数作为分数的近似，不必像分数这样精确，而小数又统一了计数单位。小数沿用了整数的位值法，在任意一个整数中，任意选中一个数字，左边一位数的计数单位是当前这位数的10倍，所以个位的计数单位为“1”，第一位小数上的数字的计数单位为“1/10”，因此称作“十分位”，以此类推。

三、负数

生活中会有这样一些量，收入和支出，升高的量和降低的量，增加的量和减少的量……以收入和支出为例，收入5元，支出5元，但是这两个5代表的意义不同，所以单单一个数字“5”是不能表达他们的不同的，要在前面加上一些描述性语言来区分，即收入和支出，这些语言也是一些抽象的符号，不过没有数学符号简洁。

于是人们用“+”和“-”来表示这种具有相反意义的关系，这样数字前面加上正负号表示了更多的抽象意义。

引入负数以后，数字所抽象对应的事物就从自然界的实物拓宽到一些事件，以及人类自定义的一些抽象概念。例如：海拔高度，海平面零米是人为规定的临界点，高出和低于海平面高度的数字前面分别加上“+”于“-”，正号可省略。要用负数来抽象对应事物，必须要注意：（1）临界点是什么？即“0”表示什么。（2）相反意义的量是什么？（3）确定数值。

四、有理数

把自然数向负数扩充，正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。整数、分数、正数、负数都可以顾名思义，而有理数却让我费解了，更有道理的数？

有理数是对“Rational number”的直译。这词源自古希腊，词根为“ratio”，比率的意思。不难理解，有理数表示的是能化成比率的数。分数自然能看作一个比例，整数又能化成分数，因此，所有的有理数都能化成比例。有理数的意义在前面已经说明，就不在此累述。

五、无理数

在研究一些开方数和圆周率时，人们发现一些不能表示成比例的数，对比有理数，就称这些数为无理数。无理数可分为正无理数、负无理数，所有的无理数可化为无限不循环小数。无理数的意义可以类比有理数得到。

六、复数

复数是指能写成如下形式的数a+bi，这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。其代表的意义在中小学阶段不作要求，就不作说明。

参考文献：

[1]塔巴克.数[M].王献芬，译.商务印书馆，2008-03.

[2]约翰·塔巴克.数学和自然法则：科学语言的发展史[M].商务印务馆，2007-01.