李坤

【摘要】数学思想方法贯穿于整个高中数学，在数学教学和解题方面具有重要作用.其中，分类讨论思想方法是学生必须掌握的思想方法，能够将复杂的问题简单化、抽象的问题形象化、分而治之，从而达到解决问题的目的.但是，对相关文献资料的分析和研究，我们发现，数学分类讨论思想的相关文献主要集中于解题方面的研究，在教学方面的研究相对薄弱.因此，对于高中数学而言，分类讨论思想在教学方面的运用缺乏一定的理论基础，教师可以借鉴的经验十分有限，导致分类讨论思想在高中数学教学中的落实不够到位.

【关键词】分类讨论思想；高中数学；教学策略

弗赖登塔尔认为：“对人类思维训练有重要影响的是数学思想方法而非具体的数学知识.”这就说明数学思想方法对于在数学方面的研究以及学生的数学学习具有重要作用.在高中数学中，数学教学有两条线，一条是明线，即数学知识的教学；一条是暗线，即数学思想方法的教学.数学思想方法凌驾于数学知识之上，是从具体的数学内容中提炼出来的一种指导思想和普遍适用的方法，是对数学知识、数学规律的本质认识.对于发散学生思维，提高学生数学能力具有核心作用.

分类讨论思想因其具有实用的教学价值和高效的解题功能，所以受到了国内外数学教育工作者的共同认可.然而在实际的高中数学课堂教学中，我们发现分类讨论思想方法落实的并不是很到位，主要表现为对分类讨论思想方法的认知存在障碍、学生不懂得如何分类等等.在课堂教学中，一些教师对于分类讨论思想方法不会去详细讲解分类思路，导致学生无法举一反三.对于分类讨论思想方法在我国高中数学教学中存在的很多问题，本文将针对这些问题展开具体的研究，使得这一思想在高中数学中得到充分的运用.

一、分类讨论思想

（一）分类讨论概念

分类讨论既是一种重要的数学思想，同时也是一种逻辑方法.它既存在于数学领域，同时也存在于其他学科及日常生活中.在我国，有许多的数学教育工作者都曾经用分类讨论思想解决过数学难题.同时，对于分类讨论思想的含义、本质等也提出了不同的观点.笔者认为高中数学中分类讨论指的是：当所研究的数学对象具有引起分类的原因，需要根据对象的本质特征，采用“总—分—总”的研究模式，将问题划分为若干部分，然后对每一部分进行研究解决，最后将分类所得结果进行整合，从而达到解决问题的目的.

（二）分类讨论的原则

分类意识是分类讨论思想的核心，如何分类决定了问题后来的解决难度和完整性.张小芳发表的《浅谈数学教学应如何进行分类讨论》中指出分类讨论思想应遵循：（1）不重复原则.所分的各类之间不能有交叉重叠的现象，各类之间应该是互斥的；（2）不遗漏原则.分类过程必须确保每一个对象都有归属，做到完整无遗漏；（3）同标准原则.每一层采用的分类标准必须是统一的.

二、高中数学教学中运用分类讨论思想的教学案例

高中数学中有许多的定理、公式、法则、习题等都需要运用分类讨论思想，可以说，分类讨论思想贯穿于高中数学教材的各个章节，没有统一论述.学生在学习过程中，教师应不断强化学生分类讨论意识，让学生认识到很多问题只有经过分类讨论后，所得到的结论才是正确的、完整的.并且强调通过分类讨论，可以使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化.

本文以高中数学“分段函数”内容为例，研究分类讨论思想在高中数学教学中如何得到合理的运用以及如何高效地解决相关的数学问题.在这之前，已经有许多数学教师在教学中进行了卓有成效的教学实践，我将借助于一些现有的实践资料，结合个人的观点和体会，进行探究和分析.

分段函数教学案例

1.创设情境，引入新课

引例：某市出租车计价标准：5 km以内8元（包含5 km），超过5 km且不超过15 km的部分1.5元/km，超过15 km的部分2元/km，问：

（1）某人乘車行驶了9 km，他需要支付多少车费？

（2）建立车费与行车里程之间的函数关系式.

（3）如果某人付费35元，他乘车乘了多少km？

[设计意图]从学生感兴趣的日常生活实际问题出发创设情境，激发学生求知欲，带领学生进入分段函数的研究.在这一过程中，建立解析式是教学难点，需要教师仔细为学生分析知识的发生、发展和形成过程.

2.实践研究，形成概念

（1）作出函数y=3x+2，x∈R的图像；

（2）作出函数y=3x+2，x∈（2，+∞）的图像.

归纳：

① 定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫作分段函数.

② 对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数.

③ 定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集.

④ 值域：分段函数值域为各段函数值的并集.

[设计意图]根据图像建立分段函数的概念，使学生明确分段函数存在的实际意义.通过对分段函数概念的分析，让学生体会到分类讨论思想在解决分段函数问题中发挥着重要作用.

3.实际应用，深化概念

例已知函数f（x）=x2，x>0，0，x=0，x，x<0.

（1）画出函数的图像；

（2）根据已知条件分别求f（1），f（-2），f[f（-2）]，f{f[f（-2）]}的值.

变式已知函数f（x）=x，x≤0，x2-4x，04.

（1）画出函数的图像；

（2）求f{f[f（6）]}的值.

[设计意图]分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，运用分类讨论思想，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间，从而确定相应的对应关系.对于分段函数，各个分段的“端点”是学生容易犯错的地方.

4.课堂小结，总结回顾

（1）充分理解分段函数的概念以及解析表示形式；

（2）仔细思考在处理分段函数问题中所运用的数学思想方法.

（3）加强对分段函数本质的认识：

① 理解：对于定义，要理解其内涵和外延，抓住概念的本质特征，学会运用概念解决问题；

② 明确：对于一个分段函数而言，对应法则由几个解析式来表示；函数的图像既可以是平滑的曲线，也可以是一些点或线段；

③ 注意：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

[设计意图]总结回顾可以教会学生养成勤于思考，善于合作的学习习惯，同时可以发散学生思维，构建完整的数学知识框架.

5.课后作业，反馈成效

必做题：教材习题P24第7题，P25第1题.

[设计意图]让学生能够熟练运用分类讨论思想解决分段函数问题，对新知识、方法有一个了解和运用的过程.

三、分类讨论思想在高中数学教学中存在的问题及解决策略

（一）分类讨论思想在高中数学教学中存在的问题

1.教师方面的原因

（1）对数学思想方法的认知不够透彻，无法把握其本质.

目前存在很多数学教师专业性不强，对数学思想方法的认知存在缺陷等问题.以至于无法运用数学思想方法进行教学.而对于分类讨论这一思想，有些教师只是更多的关注在解题方面的作用，而对于在教学方面的运用认识不够全面，这也是新教师和老教师的区别.新教师过分偏重解题方法和技巧，老教师则善于将数学思想方法融入课堂教学内.

（2）对数学思想方法的重视程度不够，片面注重知识传授.

“传道”“授业”“解惑”作为传统数学思想在长期的教学实践中已经根深蒂固，以至于一些教师尤其是新教师在教学过程中只注重数学知识的教学，导致学生在能完全记忆书本的定义、性质、公理、定理、公式以后，仍然对综合性较强的题目无从下手，找不到突破口.学生不会分析题干信息，对解答出来的题目也不会去反思是如何做出来的，是用什么数学思想方法处理的.所以，很多学生搞“题海战术”，但是仍然对许多做过的题目再见到时感到陌生，这就是教师在教学过程中忽略数学思想方法的后果.所以说，对教学而言，打造高效课堂的关键往往是新在其思路，精在其思想，而不能只注重知识的传授.

2.学生方面的原因.

（1）遇到具体问题不知该如何分类.

分类讨论的关键在于分类，分类是否合理决定了问题解决的正确性和完整性.而如何分类需要学生根据具体问题做出相应的判断.许多学生在遇到分类讨论题目时，思维就出现混乱，导致分类不合理.

（2）忽略分类讨论的原则.

我们经常会发现，有些学生在做分类讨论题目时，所得出的结果与正确结果非常相近，产生这些问题，究其原因是因为在讨论过程中，忽略分类讨论的原则，没有深入挖掘其中的关键点、易错点.

（二）针对分类讨论思想在教学中出现的问题提出解决策略

1.教师应全面了解数学思想方法

数学思想方法包括分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等等，每一种思想都有其各自的特点和作用，教师需要对各种数学思想方法有一个全面的了解，抓住其本质，挖掘其内涵，掌握其用法，从而提升自己运用思想方法教学的能力.

2.教师要认识到数学思想方法教学的重要性

數学思想方法是数学的精髓，是以数学知识为载体的逻辑方法.在教学过程中，教师只讲概念、定理、公式、性质而不注重运用数学思想，将不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，其水平也只是停留在一个初级阶段，并且学生在这一学习过程中只接收到表层知识，而没有对数学思想方法这一深层知识有所感悟，无法使思维产生质的飞跃，导致学生的成绩一直无法拔尖.

3.教师要善于在学习过程中渗透数学思想

许多教师在教学中都体会到，实践解题能使学生得到有效提升.因此，渗透数学思想方法最主要的途径是在解决数学问题的过程中.这就要求教师在用分类讨论思想方法教学时，要选择合适的教学时机，巧妙地设计一些数学问题引导学生探究，多为学生提供一些解答问题的机会，教会他们总结和反思解决问题的方法和策略，从而不断提高自身运用分类讨论思想解决问题的能力，领会数学思想的内涵.

4.教师要引导学生如何运用好分类讨论思想

对于许多数学问题，学生尽管知道需要用分类讨论思想解决，但是并不清楚分类的原因以及分类过程中容易出错的地方，这就要求我们的教师细心地引导学生弄清楚分类的原因，如何合理的分类，分类是否全面以及在讨论过程中应注意的问题等.

四、结束语

分类讨论思想是非常重要的数学思想，全面掌握和运用分类讨论思想可以使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化.有助于学生获取知识，养成良好的归纳整理的习惯，处理问题具有条理性.同时对于训练学生思维，培养学生的数学素养也有很大帮助.希望本文的解决策略能够引起教师们的关注，继而达到预期的教学效果.

【参考文献】

[1]张向良.数学思想方法与高中数学教学[D].大连：辽宁师范大学，2012.

[2]张小芳.浅谈数学教学应如何进行分类讨论[J].成功（教育版），2010（2）：114-115.endprint