[摘 要] 对一道函数y=Asin（ωx+φ）图像题多变、错解、多解的研究，帮助学生识函数y=Asin（ωx+φ）图像，理解数y=Asin（ωx+φ）图像变换、应用.

[关键词] 函数图像；图像变换；图像应用

函数y=Asin（ωx+φ）图像是高中数学《三角函数》的高频考点，多以选择、填空题的形式出现于历年各地考卷中. 因此，高三数学教师要重视“函数y=Asin（ωx+φ）图像”的教学，力争让学生熟悉掌握函数y=Asin（ωx+φ）图像，图像变换、应用.

[?] 典例：看函数y=Asin（ωx+φ）图像

典例：已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ

<在一个周期内的图像如图1所示，求y=f（x）的解析式.

[O][-2][-][][][][][x][y][2]

图1

考点分析：由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图像，确定函数解析式.

危险解法：由图像容易看出，振幅A=2，周期T=-

-=4π，ω==，由于ω>0，所以角速度ω=.

將

，0代入函数解析式，得×+φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ-（k∈Z）.

因为φ<，所以k=1，φ=. 因此，f（x）=2sin

+.

危险原因：上面解法看似很严密，危险出在何处？如果把“φ<”改为“φ<π”，那么φ的值为多少？学生的答案：k=1，φ=或者k=0，φ=-. 实际上，把“φ<”改为“φ<π”答案不变，仍为φ=，而同学们使用上述解法就产生了增根，所以才说上述解法是“危险解法”，给定的φ取值范围变大，根的个数就增多.

解法1（代零点求φ）：因为

，0是函数的递减零点，所以将

，0代入函数解析式，得×+φ=2kπ+π（k∈Z），解得φ=2kπ+（k∈Z）. 因为“φ<π”，

所以k=1，φ=.

解法2（代波峰点求φ）：将

，2代入函数解析式，得×+φ=2kπ+（k∈Z），

解得φ=2kπ+（k∈Z）. 因为φ<，所以φ=.

解法3（五点法求φ）：将-

，0代函数解析式，由于点-

，0相当于正弦函数“五点法”作图中的第一个关键点，所以×

-+φ=2kπ（k∈Z），解得φ=2kπ+（k∈Z）. 因为“φ<π”，所以k=0，φ=.

评注：振幅A：看函数图像的波峰（或波谷）；角速度（角频率）ω：看函数图像周期；求初相φ既是难点也是易错点，求法两种：“代点法”、“五点法”. “代点法”可以选择代零点，也可以选择代波峰或波谷点，并且代波峰点可以得到ωx+φ=2kπ+（k∈Z），代波谷点可以得……