徐晓红

[摘 要] 在解决数量积等问题中，学生常常没有将“向量投影”处于一种优先考虑的策略. 而某些向量问题，通过数量积的几何意义的优先考虑与恰当表征，有助于简约问题解决的思维长度，从而顺利地解决面临的问题.

[关键词] 高考试题；向量；投影

平面向量具有代数与几何的双重身份，是沟通代数、几何与三角的桥梁，它是中学数学知识网络重要的交汇点，也是高考中命题的重点与热点. 在高考中大多以选择题和填空题的形式出现，题目灵活、多变，部分题目以能力立意命题，要求学生有一定的数形结合思想和能力. 但笔者在高三教学中发现很多学生在解决向量问题时存在着思维选择上的策略问题. 下面以一道浙江省2016年高考理科向量试题为例加以说明.

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问题：已知向量a，b，

a

=1，

b

=2，若对任意单位向量e，均有

a·e

+

b·e

≤，则a·b的最大值是________.

笔者在课堂上曾让学生们就这道试题进行求解，结果发现除了一部分学生碰到了思维障碍，未能成功解决问题之外，其他解决问题的学生基本上用了如下两种解法当中的一种，并且采用解法2的学生都在相同的一本参考书上学习过了这种解法.

解法1 如图1所示：

设=a，=b，=e，〈a，e〉=α，〈b，e〉=β，而〈a，b〉=θ，则

a·e

+

b·e

=cosα+2cosβ=cosα+2

cos（θ-α）

，取得最值时，显然cosα与cos（θ-α）同号，故

a·e

+

b·e

≤cosα+2cos（θ-α） =（2cosθ+1）cosα+2sinθsinα=

·sin（α+γ）=sin（α+γ）≤. （其中sinγ=，cosγ=，取γ∈[0，2π）），显然≤，故cosθ≤，由于a·b=

a

b

cosθ=2cosθ，则易知当cosθ=时，（a·b）max=.

解法2 由题意，可令e=（1，0），a=（cosα，sinα），b=（2cosβ，2sinβ），由

a·e

+

b·e

≤可得cosα+2cosβ≤①，sinα+2sinβ=m②.

①2+②2得：4（cosαcosβ +sinαsinβ）≤1+m2对一切实数α，β恒成立，所以

4（cosαcosβ +sinαsinβ）≤1. 故a·b=2（cosαcosβ+sinαsinβ）≤2（cosαcosβ+sinαsinβ）≤，故（a·b）max=.

从解题过程上看，解法1显得过于复杂烦琐，而解法2虽从思路上看起来别具一格，但并不符合学生常规的思维脉络……