徐晓伟

摘要：本文讨论了抽象代数课程中等价关系的教学内容，对其教学方法予以研究。

关键词：等价关系；等价类；商集

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）32-0167-02

等价关系是集合分划的另一种表述方式，是抽象代数学基本而重要的概念。在此部分内容的学习中，等价关系对子集的影响经常会成为困扰学生的潜在因素，本文对此教学内容及教学方法予以研究。因为商群、商环、商模、拓扑商空间等结构都是等价关系产生的商集，所以等价关系一般作为预备知识出现在高等代数、抽象代数、拓扑学、离散数学等课程中（参见[1-8]）。教材主要是通过等价关系引出分划和商集的概念。但在实际应用中，学生对商集的子集及相关性质认识是比较模糊的，从而妨碍对商群、商环、商模、拓扑商空间等结构的理解。本文将针对这一教学内容予以研究。

我们先回顾一下等价关系的基本概念和性质。等价关系即满足自身性、对称性和传递性的关系。设～是非空集合A上的等价关系，对于a∈A，称

S■=b∈A|b～a

为a的等价类。那么，对于a∈A，有a∈S■；对于a，b∈A，或者S■=S■，或者S■∩S■=φ。从而

A=■S■，

进而存在A的子集T，使得

A=■S■ （*）

是无交并，即对任意t■≠t■∈T，有S■∩S■=φ。（*）称为A的一个分划，称

A/～={S■|t∈T}

为A的一个商集。

既然等价关系可产生集合的分划，那么为什么不直接用分划来表述，而是用等价关系的语言呢？为此，我们需要先理清等价关系与分划的关系——等价关系与分划是等同的。

定理1 非空集合的等价关系与分划一一对应。

这个定理可解释为：每个等价关系都产生一个分划；……