李强

摘要：在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有序数对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题.空间解析几何也是按照类似方法建立起来的.高考数学立体几何解答题的设计，注意到求解方法既可以用传统的几何方法，又可用向量方法来处理，但是高中数学用向量方法处理时计算量比较大，容易出错是很多高中生头痛的问题，尤其是在求平面法向量时过程较为复杂，本文结合高等数学中空间解析几何的内容，给出了一种“秒求法”解立体几何的方法.

关键词：高等数学；高考；立体几何；空间解析几何

1.两向量的向量积

定义1.1 两个向量 与 的向量积（外积）是一个向量，记作 ，它的模是

其中 为 与b间的夹角. 的方向与 与 都垂直.（图1）.

（图1）

定理1.1 两个不共线向量 与 的向量积的模，等于以 与 为边所构成的平行四边形的面积.

定理1.2 两向量 与 共线的充要条件是 0.

证 当 与 共线时，由于sin=0，所以 |ab|=|a||b| = 0，从而ab0；反之，当ab 0时，由定义知，a =0 ，或b =0，或sin = 0，a ∥ b，因零矢可看成与任向量都共线，所以总有a // b，即a与b共线.

定理1.3 向量积满足下面的运算律

（1）反交换律 a b b a，

（2） 分配律（a b） c a c b c，c （a b） c a c b.

（3） 数因子的结合律（a） b a （b） （a b） （为数）.

定理1.4 设定理1..4 设 ，则

为了帮助记忆，可利用三阶行列式符号将上式形式地写成

使用时可按第一行展开.

例1 设a （2 1 1），b（1 1 2），计算ab

解

2.高中向量解空间立体几何基本思想

2.1平行与垂直的判断

（1）平行：设 的法向量分別为 ，则直线 的方向向量分别为 ，平面

线线平行 ∥ ∥ ；线面平行 ∥ ；

面面平行 ∥ ∥

（2）垂直：设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，则

线线垂直 ⊥ ⊥ ；线面垂直 ⊥ ∥ ；

面面垂直 ⊥ =0

2.2夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算

（1）夹角：设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，则

①两直线 ， 所成的角为 （ ）， ；

②直线 与平面 所成的角为 （ ）， ；

③二面角 ─l ─ 的大小为 （ ），

（图2）

例3、如题图3，在五面体 中， ∥ ， ， ，四边形 为平行四边形， 平面 ， .求：

（Ⅰ）直线 到平面 的距离；

（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值.

（图3）

解（Ⅰ）如图以A点为坐标原点， 的方向为 的正方向建立空间直角坐标系数，则

A（0，0，0） C（2，2，0） D（0，2，0）设 得 ，由 .即 ，解得 ∥ ，

面 ，所以直线AB到面 的距离等于点A到面 的距离。设A点在平面 上的射影点为 ，则 因 且 ，而 ，此即 解得 ①，知G点在 面上，故G点在FD上. ， 故有 ② 联立①，②解得， . 为直线AB到面 的距离. 而 所以 .

（Ⅱ）因四边形 为平行四边形，则可设 ， .由 得 ，解得 .即 .故

由 ， 因 ， ，故 为二面角 的平面角，又 ， ， 所以 .

3向量积在高考立体几何中的应用

在第一节中我介绍了向量积的大小和方向问题，向量积的方向就是两个向量的所在平面的法向量，而我们在第二节中介绍了在高考中用向量法解立体几何时重点是如何去求法向量，在这个基础上我把两个内容有机的结合起来就得到我们的“秒求法”求法向量。

在例题3中设A点在平面 上的射影点为 ，则 因 且 ，而 ，此即 从而求解出法向量 .

我们可以用求两个向量向量积的方法求法向量，

法向量在不为零向量的情况下与长度无关，亦可取（0，1，2）作为平面的法向量.

4结论

本文通过对高等数学的深入研究与高考数学立体几何解答题的设计有机结合，用高等数学中空间解析几何的内容，给出了一种“秒求法”解立体几何的方法.对即将参加高考的同学有很大的帮助，同时为准大学生们对高等数学有一定认识，提高了即将要学习高等数学的兴趣.

参考文献：

[1]王福楹等.高等数学第七版册[M].上海：同济大学，2014：17-20.

[2]文尚平.5年高考三年模拟[M].北京：首都师范大学，2016：129-152.