费云标

[摘 要] 本文从一道南京中考试题出发，探寻其不同的解法，分别从不同的角度分析编制意图. 笔者结合自身教学实践经验及基于对初中几何题的特点理解，进行原创设计，在命题中得到感悟、提升.

[关键词] 初中几何题；命制

几何题是教师与学生最难以把握的富含数学思维的题目. 笔者翻阅了近几年的南京中考卷，翻出一道南京2013年中考卷的第25题，笔者由此题的解法出发，从四个角度谈这道题的编制意图，最后再编制出一道相关题，谈一谈几何试题命制过程的感悟.

真题重现

试题 如图1，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦，过点B作BC∥AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD.

（1）判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB=9，BC=6，求PC的长.

解法探究

根据题意，我们通过作辅助线（主要是连接CO，BO及延长CO与圆O交于点N）可以证得题中存在三个等腰三角形，分别是△OBC，△OAC和△OAB. 通过等量代换，得∠BCP+∠BCO=90°，（1）题得证. 当然，由（1）题证得的结论，可以证得图中存在四个直角三角形，分别是△OMC，△CMP，△OCP和△NBC，且互为相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，可求得CP的长.

解法1 （常规思路，通用解法）（1）直线PC与圆O相切，理由如下：如图2，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN. 因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD. 因为∠BAC=∠BNC，所以∠BNC=∠ACD. 因为∠BCP=∠ACD，所以∠BNC=∠BCP. 因为CN是圆O的直径，所以∠CBN=90°. 所以∠BNC+∠BCN=90°. 所以∠BCP+∠BCN=90°. 所以∠PCO=90°，即PC⊥OC. 又点C在圆O上，所以直线PC与圆O相切.

（2）因为AD是圆O的切线，所以AD⊥OA，即∠OAD=90°. 因为BC∥AD，所以∠OMC=180°-∠OAD=90°，即OM⊥BC. 所以MC=MB. 所以AB=AC. 在Rt△AMC中，因为∠AMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，由勾股定理得AM===6. 设圆O的半径为r，在Rt△OMC中，因为∠OMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，由勾股定理得OM2+MC2=OC2，即（6-r）2+32=r2，解得r=. 在△OMC和……