王法岩+彭猛

[摘 要] 教学材料是师生教与学的载体，教学材料可以是教材，更应当是教师对教材的重新设计. 教学材料的意义在于其对学生学习的促进，因此研究学生，让学生在比较中学习，让学生对数学知识进行精加工，是让教学材料变得有意义的重要途径. 教学材料要面向学生才能彰显其意义，而这就意味着教师在教学设计的时候要具有学生视角，要善于站在学生的角度思考问题，思考知识发生的逻辑.

[关键词] 高中数学；教学材料；意义

在教学中有一个很基本的行为，那就是向学生提供教学材料，实际上也正是教学材料，才将师生的教学关系紧紧联系在了一起. 在这样的互动过程中，很少有人去反思材料的意义，因为教学材料的提供如同人的生存需要呼吸一样——因为必须而显得日常，因为日常而忽视. 但如果真的去思考一下教学材料的意义，又会发现这无论是对课堂教学的有效性，还是对学生学科素养的提升，都有着直接且至关重要的影响，因此教师还是有必要重新认识一下教学材料的意义的.

在高中数学教学中，教学材料的来源有两个方面：一是包括课本在内的书面资料；二是教师的教学设计. 这些材料提供给学生之后，学生是如何有效加工的，这是本文关注的重点. 下面分三个方面来说明.

[?] 教学材料的意义及相关研究

关于教学材料的意义，教育专家其实进行了不少的研究，著名教育家奥苏泊尔就曾针对当时的教材提出了一些观点与意义. 他认为当时的教材将一些原本有着重要联系的知识（奥苏泊尔称之为观念与问题）分成了独立的章节，而没有凸显这些知识之间的重要联系，这样的教学必然会导致学生产生“极大的认知紧张与混淆”. 仔细思考奥苏泊尔的这段描述，笔者以为还是有着很强的启发意义的. 今天的高中数学教材编写坚持的是“一标多本”的原则，由国家统一制定课程标准，然后各地区根据课程标准编写教材. 通过比较可以发现不同版本的教材在呈现知识的顺序以及所选用的内容上存在着较大的区别. 作为一线教师，我们不否认这样做的价值与意义，但需要注意的是学生的认知规律总是相似的（至少不会有明显的地区差异），那不同编写思路的教材如何更好地适应学生的学习呢？笔者以为一线教师需要思考这个问题，而思考这个问题，实际上也就是在思考教学材料的意义.

这里不妨以苏教版高中数学必修1中的“函数概念与基本初等函数I”的教材编写为例，来分析一下教学材料的意义. 这一章被分为6个小节，分别是：函数的概念和图像、指数函數、对数函数、幂函数、函数与方程、函数模型及应用. 从知识发生的逻辑角度来看，通过函数概念与图像的学习奠定基础，然后学习三个基本函数；再在此基础上比较函数与方程，进而构建一个比较全面的函数模型并研究其运用，显然是一个符合知识发生逻辑的思路，从这个角度讲其是有意义的. 但是需要注意的是，这只是宏观角度的知识发生顺序，而一个更为细致的知识比如说函数的概念的构建需要什么样的材料来加工，函数模型的建立又需要哪些材料来加工，这些教学材料的意义才直接决定着学生学习的有效性. 于是可以将研究的视角转向具体的教学内容，如在建构函数的概念的时候，教材给出的是三个例子：一是人口数量变化趋势；二是一个物体自由下落时下落距离与时间的关系；三是某市一天24小时的气温变化图. 这三个例子呈现给学生的时候，最为关键的是什么？显然是让学生通过对三个例子的分析与综合，进而发现这三个例子中都存在着两个变量，且一个变量的取值确定后，另一个变量的值也确定而且是唯一的. 那么，学生能不能做到这一点？或者说学生在具体的学习中他们的思维会是怎样的？

根据笔者的教学经验发现，绝大部分学生在此知识的学习中可以形成上述的因果对应关系，也就是说学生可以顺利地发现两个变量及其唯一对应关系，这说明这一教学材料对他们来说是有意义的；但对于另外少数学生来说会出现一种情形，他们在研究材料的过程中不能发现变量，更加难以发现对应关系. 尤其是对于第一个例子而言，在他们的固有观念中，国家的人口数量与年份之间不应该有着影响关系，用有些学生的话说，哪一年多少人口与这一年有什么关系呢？这明显不存在影响关系啊. 这种在教师看起来无法理解的逻辑就是在学生那里顽固地存在着，而这个问题不解决，他们就无法顺利接受教师所强调的变量及其对应关系. 即使教师再作重复与强调，他们也会心存芥蒂. 这个时候，这一教学材料对他们这少部分学生来说，其实就是无意义的，或者说意义是没有显露出来的，还需要教师针对他们的思维特点做出修改，以使教学材料的意义显露出来.

由此可见，数学教学中教学材料有意义与否，固然要本着以本为本的思路去实施教学，即认为教材的材料存在着有意义的前提，但真正的意义其实是显示在学生的学习过程中的，因此又需要教师针对学生的实际去发掘、发现意义的途径，而这也是教师备课的价值所在.

使教学材料变得有意义

那么，如何让教学材料变得更有意义呢？

第一，就是研究学生. 研究学生的什么？研究学生的认识规律. 说得更具体一点，就是研究学生在构建一个数学概念的时候，他可能会怎么想，可能会遇到哪些障碍，又如何克服这种障碍？比如说上面对于少部分学生而言的函数概念的构建，笔者以为最好的选择，就是帮他们梳理好人口数量与年份的关系，要让学生认识到这里并不是说每年的人口数量与年份之间存在着互相影响的关系，而是根据每一年的人口数量来判断“人口数量的变化趋势”——这才是本教学材料中的一个关键词，也是化解学生理解障碍的一个突破口（实际上部分建构顺利的学生也并没有意识到这个问题，他们只是更多的在教师的讲授之下完成了一个同化的过程而已）.

第二，让学生在比较中学习. 一个好的教学材料，一定是可以顺利地让学生进行比较的，比较的对象就是学生已经掌握的或已经学过（与已经掌握有所区别）的，只要学生在学习中有比较的机会，那新知识的构建往往就比较顺利. 比如说在学习指数函数的时候，就可以设计让学生通过其与此前已经学过的正比例函数、一次函数、二次函数等进行比较，以让学生认识到学习一个新的函数要从哪些方面进行，而新的函数与已有函数又存在哪些区别，这些都是比较的结果. 又比如说在函数模型的建立中，一个重要的工作就是让学生去比较指数函数、对数函数、幂函数这三个基本的初等函数，并寻找它们之间的联系与区别，一旦学生认识到函数就是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，那函数模型就基本建立了. 笔者以为，如果在教学中，教师能够大胆地将这个比较的过程交由学生自主完成，那这样的教学过程必定是有效的，学生的数学素养也会迅速形成.

第三，让学生进行精加工. 精加工是一个浅显易懂的教学概念，就是指学生在学习的过程中，能够对某个知识点进行详尽的思考，思考的对象是明确的，思考的范围是全面的，思考的角度是深入的. 精加工的最大好处，是发现教学材料对促进学习的作用（当然学生不需要理解这一点，精加工对学生的意义就是能够让他们在深度思考中发现知识的意义）. 精加工的过程有时候也是复杂的，还很有可能遇到精加工无法遇到的问题，而这些问题如果能得到解决，实际上也是精加工成功的标志. 精加工的方式是多样的，上面提到的比较其实也是一种精加工，一题多变、一题多解也是一种精加工——有经验的教师应当发现，这样的精加工往往可以让学生对这一习题的印象更加深刻，而基于此进行发散教学，往往可以让学生更好地形成知识组块.

让教学材料更好地面向学生

教学材料的意义性，严格来说是面向学生时表现出来的意义性，好的教学材料一定是由教师精心设计出来的——无论是过去所说的“备教材”，还是现在流行的“用教材教”，其实都是指向这一点的；而教学材料有意义与否，还需要经过学生的学习过程来检验，这里所说的面向学生就是这个意思.

这里需要建立一个观念，那就是从“教材”向“学材”的转变，教学材料固然是师生共用的，但教本身就是服务于学生的学的，因此教材变成学材才能让学生在对教学材料的有效加工中获得数学知识的建构. 而要做到这一点，也不是十分困难的事情，一个重要的前提就是建立学生视角，从学生的角度去考虑问题. 比如建构函数的模型，教师就要思考经过此阶段的学生，学生已经掌握了函数的哪些知识，这些知识能否帮他们形成对函数的整体认识——只有在整体认识之后才能将这些知识概括上升为模型.

总之，有意义的教学材料一定是能够促进学生顺利构建知识的材料，也只有一切从学生的学习角度出发时，才能让教学材料的意义更为彰显.