☉浙江台州市白云中学 张安军

名特级教师和优秀青年教师“同课异构”的比较与启示

☉浙江台州市白云中学 张安军

一、案例背景

中国教育学会中学数学教学专业委员会于2016年3月28日至4月1日在浙江仙居县安洲中学举行教学活动.本次教学活动旨在加强教学研究，促进师生共同成长.会上观摩两位老师的展示课，课题内容如表1：

表1

两位老师授课时使用的教材是人民教育出版社编著的义务教育课程标准实验教科书·数学八年级下册，所任教班级的学生在成绩上无显著差异.授课内容的起点都一样，都是在第十七章“勾股定理”新授课刚结束后，进行本章勾股定理的复习作为起始课.陈娅芬老师是仙居县安洲中学的青年优秀教师，吴增生老师是浙江省著名特级教师.陈娅芬老师开设的课依照教材的顺序展开四节课的教学，是一线老师的常态课；吴增生老师执教的课例是由人教社中数室章建跃和吴增生共同研发的，课题一样，但吴老师的课似乎退到更远，退回到最原始、最基本的三角形进行复习，构成三角形的主要元素和相关元素是什么？它们有什么性质？特殊的三角形有哪些？特殊三角形和一般三角形性质的相同点和不同点是什么？站在整体、系统的高度对三角形研究的思路、内容和方法等进行归纳总结，构建了研究几何图形的一般观念，然后把一般观念迁移到特殊的“双倍角”三角形、四边形、平行四边形，让学生自主地、独立地开展探索.两位老师授课的起点基于“勾股定理”的复习，但最终结束于“平行四边形的性质和判定”，殊途同归；在常态课的参照下，吴先生的课堂大气而厚实，给听课的教师留下难忘的印象.受篇幅的限制，下面各选两节课作如下比较和分析，让更多的教师欣赏和感受两位老师对数学教育的追求和所展示出来的风采.

二、教学设计

陈娅芬老师（安洲中学）“勾股定理复习课”教学设计如下所示.

1.回顾与思考.

请你结合下面的问题，复习一下全章的内容吧.

（1）在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边的长为________.

（2）分别以下列四组为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有________.

（3）直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积.

（4）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触到地上，则旗杆高（）m.

A.8 B.10 C.12 D.14

（5）如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+ c2+50=6a+5b+10c，判断△ABC的形状.

2.应用与思考.

例1如图1，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.

图1

图2

例2如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，设AC=b，BC=a，CD=c，求证：，②a+b＜ c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形是直角三角形.

例3如图3，某电力总公司为了改善农村用电费过高的现状，目前正在全国各农村进行电网改造.某地有三个村庄A、B、C，且正好位于一个正三角形的三个顶点处，现计划在三个村庄联合架设一条线路，他们设计了三种架设方案，如图（1）至（3），实线部分为架设的线路，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.

图3

4.课堂小结.

（1）两个定理（勾股定理及其逆定理）；（2）两种重要的思想（方程思想、数形结合思想）；（3）知识结构图（略）.

吴增生的教学设计具体见文1.

三、案例的异同

1.视角和立意的不同.

陈娅芬老师的课是我们一线老师的常态课，当勾股定理这一章内容学完后，紧接着对这一章内容进行复习，复习课之后再进行“第十八章平行四边形”的学习.本节课通过梳理本章的各知识点，形成良好的认知网络，把它纳入到学生已有的认知结构，同时通过例题教学，加深勾股定理和逆定理的灵活运用，把非直角三角形转化成直角三角形来解决，从而提升学生的化归和方程思想，课堂的立意是在单元视角下对知识的整合和提升.

吴增生和章建跃先生的课例基于系统观指导下的数学教学，先回顾一般三角形的性质，然后让学生梳理特殊三角形和三角形有着怎样的关系，把它们之间的关系用好记的图来表示，便于学生记忆，把等腰三角形和直角三角形置于三角形边的数量关系和边的位置关系的一种特殊情况来思考，具体如图4.通过梳理三角形和等腰三角形、直角三角形之间的关系，明确研究对象的范围，追溯知识的本原，反映数学知识的产生、发展过程，符合数学思维规律，体现数学整体观，高立意.复习时退回到三角形，从三角形的整体观出发构建知识网络，让学生从确定的研究对象出发，清楚研究什么，如何研究，不仅知其然且知为何知其所以然.

图4

2.构建研究几何性质的整体套路不同.

安洲中学陈老师的课通过本节课的知识，在例题教学后，让学生进行归纳和反思，提升解决几何问题的策略，把非直角三角形通过三角形其中的一个顶点作对边的高线，转化成直角三角形，然后由勾股定理两边的数量关系计算第三边的长，具体如图5所示.

图5

图6

吴增生和章建跃先生的课例是一张三角形的复习任务单.在课的开始，先回顾本章我们学习的直角三角形的重要定理，即勾股定理，反过来看，勾股定理反映三角形的哪些性质，一般三角形我们是如何研究的，然后让学生独立填写任务单（在这里值得强调的是，日常教学中，研究几何图形的整体思路是让学生说一说，这样就匆匆过去，给学生留下的印象是不深刻的，而本案例却是在一节课中花了20分钟，让学生独立填写），然后交流讨论，师生完善任务单上的内容；最后形成研究几何性质的整体思路，如图6所示.因此在几何教学时，关注几何对象的结构，面对一个几何新对象，一般先定义它，用符号表示这个新对象.在获得对象后，在一般情形下，考察构成这个对象的主要元素有什么普遍的性质，相关元素又有什么性质，用观察、测量等实验的方法进行猜想，然后对自己的猜想加以证明.获得新对象的性质后，再从性质定理的逆命题进行猜想和验证，得到对几何新对象的判定.由于在第一课时舍得花时间，把这种研究几何的方法上升到观念层面、思想层面，发挥一般观念的引领作用，在第二节习题课时，研究“倍角三角形”，当学生获得几何新对象后，很顺利得到意想不到的猜想，而后学生进行深层次的探索并证明.

3.学法指导的不同.

安洲中学陈老师的课开始是回顾与思考，让学生做了8道练习题，交流答案后，是3个例题教学及其反思，整节课都在老师的预设下学习，步子小，有高密度的演练，整节课看似高效，其实质都是在老师的主导下进行有序的练习，学生没有提出问题，也缺乏自己的问题意识，有较浓重的应试倾向.应试教育和题海战术重在数量的覆盖，而没有真正提升学生的数学能力，没有培养学生学会学习、学会独立思考和探究的学习品质.

章先生和吴先生的课例中非常重视学生学会学习.学会学习的标志是什么？就是学会思考.面对一个数学对象，他能够独立展开研究.对三角形已经有完整的研究，这个时候对三角形的研究过程进行归纳，抽象出了一套研究思路，把这个思路用到一个新的几何对象“倍角三角形”中去，学生在一般观念的引领下，先给“倍角三角形”下定义，而后研究它的性质，再研究特例和判定.从构成倍角三角形的主要元素边和角考察它的性质，学生很快探索得到边和角的性质，例如倍角△ABC，若∠C=2∠B，则角的性质：0＜∠B＜60°，边的性质：2b＞c，由于小部分学生体验探究的乐趣，感受到创造的快乐，教师趁机激发学生，类比Rt△ABC，∠ACB= 90°，边的数量关系：a2+b2=c2，引导学生继续探索倍角三角形有无类似边的数量关系.由于学生知晓研究几何图形的方法，所以学生从特例出发，经历操作、实验、度量、猜想的过程，而后得到边的一个重要性质：c2=b2+ ab.不仅对“倍角三角形”是这样研究的，而且在后继研究平行四边形这一课中也是这样的，在这一观念的指引下，仅用一个课时得到许多教材上没有给出的性质和判定.

四、对教学的启示

1.真正发挥“学习任务单”的导学作用.

在一些日常的公开课中，多数教师采取课堂导学案，导致预设的环节过于充分，生成的环节过于顺畅，教学的重心过于前移，在某种程度上阻碍了学生的独立思考和当堂训练，造成课堂练习的进程太快，挤压了学生思考和交流的空间.然而在吴先生和章先生的学习任务中，例如在“三角形复习”的任务单中，通过学生填写，引导学生主动地从已有的认知图式中提取经验，激活相关的知识经验，有的是陈述性知识，有的是程序性知识，由于时间间隔久，学生很容易遗忘，教师不是采取直接提问+其他同学补充的形式，而是让学生独立思考完成后，再进行交流，共同归纳提炼研究几何图形的整体思路.又如在“倍角三角形”中，从回顾研究几何图形的一般思路出发，然后利用两个问题引导学生进行探究.这两节课的学习任务单都有共同的特征，都是以问题驱动思维，问题的挑战性激活学生的思维；以问题促进理解并提炼数学活动经验，促进思想方法的提升.在三角形的复习一课中，提炼了做数学的经验，并把这一经验贯彻到倍角三角形中去.真正发挥学习任务单在思维方面的引导作用，而不是题目加问题增加学生的负担.

2.适度开放，放手让学生探究.

在一线教师日常的课堂中，为了完成预设教学内容，PPT一播放后，马上问学生，做好了吗？哪一个同学做得最快？留给学生独立的思考和空间不够.对于有思维挑战的问题，不敢放手让学生在课堂上做，而是用自己的思维代替学生的思维.然而在吴先生和章先生的课中，吴先生在课堂上舍得花时间让学生独立地充分思考数学问题，探索倍角三角形的性质，放手让学生做数学.由于结论开放，学生不知从何探索，老师让学生回顾研究几何图形的整体思路，不是急于提示和引导，而是让学生明确构成几何图形的主要元素和相关元素是什么，明确问题所在的难点，明确问题已知是什么，又去向何方，差距在哪里.放手让学生思考，使课堂中学生从知识的接受者转变为知识的探究者提供了可能.当然适度开放和放手课堂，不是放纵学生于课堂，而是充分尊重和信任学生，让学生经历“数学化”，体验数学“再创造”的乐趣.学生一方面享受探究的乐趣，另一方面感受到自己在课堂中所作的探究活动得到了教师和同学的肯定，体会到被承认的快乐，从而体会到数学课堂的乐趣和魅力所在.

3.注重总结和提升数学活动经验，注重数学思想方法的领会和体悟.

实际上吴先生和章先生的课中蕴含着一种理念，基于双基到四基的追求，在其课中我们感受到他们注重数学活动经验，注重数学思想方法的渗透和领悟.课堂上引导学生主动地从已有的三角形认知图式中提取经验，激活相关的知识经验，把研究三角形的过程进行归纳，抽象出一套研究几何图形的思路.三角形是最简单的平面图形，三角形的性质体现平面图形的主要性质，对三角形这一章的复习不是花几分钟时间，而是花一堂或两堂课的时间，让学生理解如何研究三角形，如何研究几何图形，获得基本活动经验，而不是教师直接提供探究的思路和操作的方法.在倍角三角形和平行四边形的性质和判定探索中，注重在特例中操作、度量，让学生发现角与角之间有什么关系，结合三角形的内角和等于180°，就可以得到一个角的范围；对于倍角三角形的边有什么性质，利用两倍角的数量关系分割出两个等腰三角形，作出其中等腰三角顶角的高线，转化成直角三角形，从而得到边的数量关系.教师及时引导学生对所经历的活动进行演示、交流、反思和总结，体会蕴含其中的从特殊到一般、转化等思想，再一次提升做数学的活动经验.

五、商讨之处

1.来自教师的问题.

上述章先生和吴先生的课例给听课者以耳目一新之感，实际上这样的课蕴含两位先生对数学教育的一个追求，培养学生学会探究，学会思考，学会学习.当然，学生能探究、思考和会学习，老师也要学会探究，学会思考，学会学习；老师不会探究，没有探究的意识，课堂教学中就不会这样教.在倍角三角形这节课中，吴增生老师在台上上课，章建跃先生让我们台下的教师也和学生一起探究倍角三角形的性质，结果面对陌生的几何对象，我们的数学教师也缺乏探究意识.其实由于缺乏探究意识，我们一线教师很难构建和设计这样的教学案例.一线教师在课堂教学中更倾向或习惯于接受式的授课，长此以往，我们的学生也缺乏独立思考和探究的品质，因此吴增生老师在授课时，班级中部分学生显得不习惯，有的茫然不知所措，因此这样的课堂教学模式仅可能是一种理想和现实的追求，如何让这种高大上的教学理念融入到一线教师的课堂可能需要更长的一段路，既需要一线教师对这样的教学理念的融合接受过程，也需要一线中小学教师对数学教学“三个理解”的提升.

2.来自学生的问题.

对于目前的班级授课制，个体的数学成绩差异是很大的，极小部分学生属于数学高层次的学生，正如裴光亚老师所说：“对高层次”的学生来说，我们常常把意图或重要的东西掩藏起来，我们把意图掩藏得越深，学生越希望破解……对高层次的学生，当你宣示教学意图的时候，意味着你可能在剥夺学生自主探索的权利.其实对于高层次的学生，让他们先独自经历探索几何图形的过程，再归纳总结，或许会更有意义，感受更深刻，体验更丰富.

对于数学成绩中下的学生，理解研究几何图形的整体思路比较困难.例如，“倍角三角形”虽有着研究几何图形整体思路的形式，但这个形式对于这部分学生来说还是空的.起点太高，结论的探索过于开放，在探索课中他们就体会不到探索的乐趣，只能是一个陪衬，长此以往，会丧失学习的积极性.

1.吴增生.展示课简案：平行四边形［J］.中学数学教学参考（中），2016（8）.

2.章建跃.创新推动课程改革，全面提高教学质量［J］.中国数学教育（初中版），2016（4）.

3.裴光亚.从来自教师的“呼救”说起（1）［J］.中学数学教学参考（中），2016（4）.