高峰龄

摘 要：实际教学中，学生体会和运用数学思想方法往往不够深入。教师对同样内容挖掘、理解的数学思想方法不同，会形成不同的教学设计，学生体会和运用思想方法也就存在差异。数学思想方法的体会与运用需要数学活动作为支撑，学生通过经历操作、比较、抽象等數学活动，能更好地体会和运用数学思想方法。

关键词：数学思想方法；体会；运用；设计；操作；比较；抽象

数学思想方法很早就受到重视，在以前的大纲中就有“适当渗透数学思想和方法”的表述；现今的《义务教育数学课程标准》（2011年版），“课程基本理念”中明确提出了“体会和运用数学思想与方法”。这说明对数学思想方法的教学，已不再局限于“渗透”，而是把体会和运用数学思想方法，当作数学课程目标与内容的一个有机组成部分。显然，将数学思想方法和数学结果的形成过程联系在一起，可以更有效地揭示教学数学思想方法的基本思路与实践路径，从而提升学生的数学素养。

从现实来看，实际教学中让学生体会和运用数学思想方法做得有所不足，本文试从教学设计和课堂活动两个方面进行表述。

一、数学思想方法指导教学设计

数学思想方法是以数学知识为载体的。通常情况下教师对教学内容有显性认识，而对数学思想方法的认识常常是隐性的。教师在备课过程中应关注知识背后的数学思想方法，并以其指导教学设计。对于教材的作用，笔者以为，教材为师生的学习提供了素材和线索，但并没有束缚教师对教学设计的思考，教师可以根据自己对教学内容的正确理解以及学生的实际需要，创造性地加以调整和完善。同样的教学内容，教师挖掘、理解的数学思想方法不同，会带来不同的教学设计，其中渗透给学生的思想方法也不尽相同，学生体会和运用的过程也就存在差异。

【案例1】 苏教版五年级上册“三角形的面积”。

基于转化思想设计教学：（1）通过把平行四边形分成两个完全相同的三角形，感悟两种图形间的关系；（2）尝试选择两个三角形拼成平行四边形；（3）比较三角形和转化后平行四边形面积的关系；（4）推理得出三角形面积。这样的设计可以让学生充分体会和运用转化思想，把未知知识转化为已知知识，并建立两者间的联系。

同样的教学内容，也有教师着眼于模型思想的体会和运用：（1）通过观察直角三角形面积的变化，猜想三角形面积可能与什么有关，形成初步猜想；（2）比较直角三角形和长方形面积的关系，进一步猜想三角形的面积与底和高的关系；（3）验证猜想，对不同类型三角形的面积进行研究，可以将平行四边形剪成三角形，也可以将三角形拼成平行四边形，对面积计算的猜想进行验证，形成面积计算模型。学生在“猜想——初步构建——再次猜想——多次验证”的环节中，逐步建构出三角形面积计算的模型，并可以在建模过程中体会和运用模型思想。

由此可见，教师对教学内容中蕴含的数学思想方法有不同理解，通过课堂教学，学生也会有不同的体会和运用。也因此，针对外显的教学内容，挖掘内含的数学思想方法，并以之指导教学设计就有着非常重要的意义。

二、数学思想方法在活动中的体会和运用

数学思想方法的体会与运用需要数学活动的支撑，学生通过参与数学活动，可在其中感悟、内化、运用数学思想方法。教师可以在数学思想方法的引领下，结合学生的实际情况，设计能促进学生体会思想方法的活动，让学生在活动中有所感悟，进而能够灵活运用所悟到的思想方法。活动过程中不一定非得告知学生需要感悟怎样的数学思想，但一定需要引导学生在活动中有所悟、有所得。

1. 参与操作活动，体会和运用数学思想方法

研究表明，学生在运用视觉、触觉及运动觉协同感知事物的同时，是以内部语言悄悄展开思维的，在其中学生会获得具体形象，构建表象。根据这一研究，笔者以为教师应清晰地知道在一个教学过程中，应当让学生经历怎样的操作活动、体会哪些数学思想方法，以促进学生在操作中更好地体会和运用思想方法。

【案例2】 苏教版一年级下册“两位数加整十数”。（45+30）

对于这部分学习内容，大多数学生实际上已经有了比较丰富的知识基础，他们已经会进行简单的计算了，那么本课教师教什么呢？笔者设计的目标是：带着学生参与活动，在活动中体会数学思想。对于一年级的学生，如果明确地谈数学思想方法，显然不符合学生的实际情况。具体教学设计如下：

（1）出示情景图，列式（如图1）。怎样计算呢？我们可以用小棒摆一摆。

（2）先想一想，怎样摆小棒能一眼看出是45？根据想法摆一摆（如图2）。

（3）加30，怎么用小棒表示呢？先想一想，再将30根小棒举起来。为什么用3捆表示30根？

（4）45有两个部分，4捆和5根，30和哪部分相加呢？用小棒摆一摆。

（5）在摆小棒的过程中，比一比，哪部分变了，哪部分没有变？

（6）如果在计数器上拨珠能表示45+30吗？先想一想，再在计数器上拨一拨（如图3）。

（7）为什么要在十位上再拨3颗珠？

（8）在拨珠过程中哪部分变了，哪部分没有变？

学生在摆小棒的操作活动中，初步体会到“分与合”“变与不变”的思想方法，并在思想的引领下形成对算法的初步理解。在体会思想的基础上，教师将摆小棒升级为拨珠活动，逐步抽象，并帮助学生迁移、运用已经体会到的数学思想方法。

2. 开展比较活动，体会和运用数学思想方法

数学学习过程常常用到观察、比较活动，如“异中求同”“同中寻异”等。通过比较，可以剥离数学概念的非本质属性，发现其本质属性，有助于概念形成；比较还可以帮助学生积累活动经验，促进技能掌握。在比较活动中，教师如果有意识地渗透数学思想方法，还可以提升学生感悟、体会的水平。

【案例3】 苏教版四年级上册“解决问题的策略——列表”。

学生对于列表的策略既熟悉又陌生，熟悉是因为教材在第一学段多次呈现表格式的问题解决，陌生在于学生不能主动想到列表的策略，即为什么要列表，学生也没有掌握列表整理信息的方法。教学中，如果学生通过比较去体会、运用数学思想方法，就可以很好地解决这些问题。

（1）出示：小芳家栽了3行桃树、8行杏树和4行梨树。桃树每行7棵，杏树每行6棵，梨树每行5棵。桃树和梨树一共有多少棵？怎样整理信息才能看得更清晰，便于我们分析数量关系？

（2）展示学生整理的情况。第一次对图1整理的信息和原题进行比较，发现信息的顺序有了调整，根据果树的种类分类整理，在比较中体会分类思想方法；第二次对图4和图5进行比较，都运用分类思想方法整理信息，为什么图5更清晰呢？引导学生横行观察，也可以竖列观察，体会整理信息时运用到的对应的思想方法，进而出示图6，添上格线形成列表形式。

通过比较活动，学生不仅体会到分类思想方法和对应思想方法，还能运用思想方法进行列表，促进解题策略的形成。

第三次比较图6和图7，从题目的问题可以发现只需整理两类果树的信息就可以了，渗透优化思想方法。

学生在一次次比较活动中，不断体会其中的思想方法，并能够在问题解决过程中运用思想方法，加深对数学知识的印象，提高解题效率。

3. 经历抽象活动，体会和运用思想方法

抽象是数学教学中经常、普遍运用的思维活动，学生概念的获得、法则的总结、规律的探究、策略的提炼等都离不开抽象活动。教师可以以数学思想方法为指导，去帮助学生经历抽象活动，以在活动中体会和运用抽象、推理、模型等思想。

【案例4】 苏教版五年级上册“钉子板上的多边形”。

探究钉子板上多边形的面积，学生需经历“形象——抽象——形象”的活动过程，才能理解其面积与什么有关，又有怎样的关系。在活动中有必要让学生体会数形结合、模型等数学思想方法，也只有在这些思想方法的引领下，学生才能真正领悟到抽象活动的本质。

（1）研究钉子板上的多边形，要借助相关图形来研究，观察图形（如图8），猜想：多边形面积可能与钉子板上哪些因素有关？

（2）结合多边形内部只有1枚钉子的图形，通过收集、整理、分析数据，逐步抽象出算法模型（如图9）。

（3）质疑抽象出的模型是否普遍适用，提出画多边形内部有2枚、3枚或更多枚钉子的图形，运用已有的经验和思想進行研究（如图10）。

（4）在分析数据的基础上抽象数量关系，建构算法模型。

教师有意识在活动中渗透数学思想方法，学生在初步体会后，能够积极运用，如探究其他多边形面积时会想到先画出一些图形，运用数形结合思想；在对数据进行整理时，会想到寻找共性的规律，抽象出模型；学生在“猜想——验证——检验——再猜想——再验证——运用”这样不断提升的活动过程中，体会到逐步抽象、建模的思想方法。

教学至此，教师并没有停住，探究的过程还应更加丰富，对数学思想方法的体会还应更加深刻。出示图形变化与面积变化间的关系，深化数形结合、抽象、推理等思想方法。

学生经历逐步抽象的活动过程，加深了对思想方法的体会，其数学活动经验不断丰富，能为其后续学习奠定基础。

综上所述，数学思想方法的体会和运用需要经历不断渗透、不断提升的过程。教师以思想方法为指导设计教学活动，促进学生积极参与其中，通过“渗透、唤醒、运用、提升”的长期熏陶，加深对数学思想的感悟，逐步达成体会和运用数学思想的目标。