吴文静+黄秦安

[摘 要] 有理数是初中数学学习最重要也最基础的内容. 笔者从有理数概念角度出发，分三个方面调查了学生有理数理解的现状，结果发现学生对有理数的符号“+”“-”以及绝对值、倒数、相反数和度量结构的掌握均不理想，而对有理数稠密性的理解却超越了一般期望值. 并且男女生在有理数概念的学习上，没有显著的性别差异.

[关键词] 有理数概念；数学理解；数学教学

问题的提出

学生在小学高年级已经接触了分数，理解分数是学习有理数的开始，而有理数又是代数学习的基础. 从课程标准中也不难发现，有理数在初中生的数学学习中占据着非常重要的地位. 《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准》）强调要理解有理数的意义，借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握有理数运算的法则. 在实际教学过程中，由于考试的导向作用和教师的教学习惯，教师往往把有理数的运算放在最为显著的地方，而相关概念和基本认识却被认为是“无所谓”的东西. 搜集有关有理数的研究发现，它们多为有理数运算方面的研究，并且这些研究一致认为，学生在有理数运算方面存在较多问题，究其原因，是学生对符号“+”“-”的两种属性、绝对值等概念理解得不够透彻、清晰.

在国外，关于有理数教学和理论研究的关注点恰与我国相反，他们更强调对基础概念的理解，《美国学校数学教育的原则和标准》就指出：在初中，学生应扩展对有理数的意义、表征形式及使用的理解，应该认识并能运用分数，不能只是像在低年级所学到的那种意义——一种度量、数量、整体的一部分、数轴上的一点以及表示除法，而要扩充数的意义去包括新的内容. 如应接触涉及比的问题、比率的问题和算子的问题（例如乘的意思是得到原数的八分之三）等.

在数学体系中，数学概念是最基本的构成元素，它是反映事物在空间形式与数量关系方面的关键属性或本质属性的基本单位，掌握了一个数学概念，也就意味着掌握了一类事物的本质. 因此，对于数来说，运算应该是基于概念理解的.

综上，调查学生对有理数相关概念的理解非常有必要，这不仅是新课改和素质教育的要求，而且通过调查结果可以更加清晰地看到学生的理解障碍是什么，从而帮助教师在这部分教学过程中调整教学策略，着重对学生困惑的地方进行有针对性的讲解与训练，提高学生对有理数的理解. 获得概念的理解性掌握，不仅能减轻有理数运算学习的负担，而且能帮助学生积累数学活动经验，提高数学素养.

研究方法

本次调查选取的对象是深圳市沙井中学初一（1）、（2）班的学生，问卷共收回74份，有效问卷63份. 调查在2016年1月初一上学期即将结束的时候进行. 测试时间为45分钟.

结合前面对《课标》的分析，将问卷内容分为三部分（共6道大题）.

1. 有关有理数的符号及相关概念：“+”“-”、绝对值、相反数、倒数. 《标准》中关于有理数的部分指出，学生要理解有理数的意义，理解相反数和绝对值的意义. 这是从整体上理解有理数的基础.

2. 有理数的子结构：西方学者认为有理数不是一个单独的结构，他们普遍认为有理数的子结构包括部分—整体子结构、度量子结构、商子结构、比子结构和算子结构. 但是综合我国的有理数教学实际，只选取其中的度量和商两种与四则运算相关性较大的子结构对学生进行测试，包括3～4题.

3. 有理数的稠密性. 有理数集是学生数学学习中接触到的第一个对加、减、乘、除四则运算均封闭的稠密集，虽然我们不可能通过严格的证明来帮助初一学生掌握，但是理解这样一个基本事实却是非常有必要的，对学生数学思维的发展及无理数的学习有重要意义. 并且学生对有理数稠密性的理解可能会受自然数集离散性的影响. 包括5～6题.

测试完成后，对前三个题目进行赋分，未回答或者答错记为0分；回答不全面记为1分；回答完全正确记为2分. 特别地，第四题为选择题，A、B、C三个选项对有理数商子结构的理解是逐渐深入的，因此分别赋1、2、3分. 第5、6题不予赋分，单独进行统计. 数据用spss22.0进行处理、分析.

调查结果統计与分析

1. 各题简单统计结果分析

为了了解学生在各题上的得分情况，首先对前四题数据进行频数统计，如表1.

从表1我们可以看出学生对Q4（有理数商子结构）掌握最好，平均得分率达到94.33%，标准差也是最低的，只有0.4593，说明学生对有理数商子结构的掌握普遍偏好. 有理数的商子结构主要测试的是学生对分数、小数以及百分数等的认识及其之间的转化，《美国学校数学教育的原则和标准》中强调：灵活处理有理数的关键在于对分数、小数和百分数的不同表征有坚实的理解. 学生应该理解，0.4，40%代表的是同一个数，同时在不同的情境中，学生应该能够区分各种表示的优缺点，选择合适的表征表示相应的数学对象.

其次，学生在Q1（有理数的两个重要符号“+”“-”）上的得分率为77.77%，标准差为0.6164，说明学生的掌握程度是比较一致的，但是这一掌握程度比我们预期的要差，“+”“-”作为有理数两个最重要也最基本的符号，应该每个学生都熟悉，特别是它们作为运算符号是从学生一接触数学就开始认识的，而“+”“-”作为性质符号，虽然从学生学习负数才开始认识，经过初一一学期的学习与练习，学生也应该熟练掌握. 此外，对于“-”，还有另外一种意义，表示相反数. 比如，对于a，-a表示a的相反数；对于-a，-（-a）表示-a的相反数. 但是，在数据统计过程中，发现没有学生想到“-”的这一层含义. 因此，在教学过程中，教师不应该只强调数的运算，对于一些重要符号的本质也应该向学生解释清楚，帮助学生深层次地理解有理数.

相比之下，学生对Q2（学生对绝对值、倒数、相反数的认识）、Q3（度量子结构）的掌握则非常差，平均得分率分别只有51.59%和41.67%，得分的离散程度也非常大，分别为2.1903和1.0160，这从每题的最高分和最低分也可以很容易看出（Q2的最高分为6，最低分为0；Q3的最高分为4，最低分为0）.

在Q2中，大部分学生对a=-a的理解仅停留在绝对值的符号化表示的形式（a=-a表示a的绝对值为-a）上. 当然我们知道，这不应该是学生理解的终点，北师大版七年级上册教科书中对绝对值性质的描述为：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零. 在这63位学生中，只有10人（占比15.87%）能够推出a为负数或0. 而对相反数和倒数的测试（ab=1，a+b=0），有不少学生直接解释为a乘b的积等于1， a加b的和等于0. 从这个答案我们可以看出，学生并没有深入地理解这个数学对象，对倒数和相反数的符号化表示比较陌生，只看到了这两个式子的外部形式.

Q3是该问卷中正确率最低的一道题，通过分析学生的答案可以看到，学生对有理数的度量结构理解得很不到位. 比如，在两个小题中，分别有31人（49.2%）和32人（50.8%）得到的答案分别为6和10. 原因是学生选取一小格为一个单位长度，那么Y到O点的距离是6个单位长度，所以是6，同理得到第二问为10. 我们可以很明显地看到学生的一个思维定式是，当取一小格为单位长度时，学生默认这个长度为1，而忽视了数轴上已经给出的两个端点的值；还有部分学生只给出了距离的一般表示Y-0和X+Y. 另外，有个别学生直接通过直尺测量的方式，得到两个距离分别为4 cm和7 cm，也就是说，还有学生对距离的理解只停留在物理测量上.

通过上面的分析我们可以看出，学生对有理数概念理解的总体水平不尽如人意，并且学生之间的理解水平差距也比较大. 学生升入初中后，数学学习内容的难度比小学数学的难度大很多，有些学生在数学学习上已经有了力不从心的表现. 因此，教师在教学之余，应该格外关心学生的学习状态，帮助学生从小学数学成功过渡到中学数学的学习.

2. 性别因素对有理数概念理解的影响分析

（1）性别因素在Q1～Q4上的差异性分析

为了测试性别对各题得分的影响，我们可以考虑对性别因素进行独立样本t检验. 因此，首先要检验数据的正态性. 我们发现四个题目的男、女生成绩均不服从正态分布（显著性均小于0.05），因此，我们改用非参数检验方法：曼—惠特尼U检验，结果如表3.

从表3中我们可以看出，四个题目的曼—惠特尼U系数分别为U=427.500，U=421.000，U=477.000，U=456.000，并且四道题的显著性概率分别为P=0.296>0.05，P=0.296>0.05，P=0.763>0.05，P=0.377>0.05. 因此，四道题中，男、女生的成绩均没有显著性差异.

（2）性别因素在总成绩上的差异性分析

首先对总成绩数据进行正态性检验，得到男、女生总成绩分别服从正态分布（P（男）=0.120>0.05，P（女）=0.117>0.05），因此，可以对总成绩进行独立样本t检验，结果如表4.

由表4可知，双侧假设检验结果是P=0.465>0.05. 因此，总成绩的性别差异不显著，即男、女生的平均成绩在统计学意义上是相等的. 且通过计算得到性别因素对总成绩的实际影响效应η2=0.009<0.01，也就是说，成绩差异中今有0.9%的变异是由性别差异引起的，从而性别差异对学生总成绩几乎没有什么影响.

3. Q5与Q6的关联度分析

Q5与Q6均是关于有理数稠密性的测试，Q5侧重于数字角度，Q6侧重于字母角度. 学生在初一上学期正式开始代数学的学习，部分学生对于字母表示数感到难以理解，从这一角度来看，两个题目的难度是逐渐递进的. 但两道题又具有很大的相似性，学生的回答应该也具有相关性.

由于两个题目各四个选项，有四个单元格（50%）的期望计数少于5，这一比例超过了20%的临界值. 因此，我们使用费希尔精确检验（Fishers exact test），结果如表5.

通过检验发现，学生在两个题目的回答上相互独立，即没有显著性差异（P=0.259>0.05）. 结合前面的选项频数统计，无论是基于数字的还是基于字母的，学生对有理数稠密性的理解都已经达到了一定的高度.

通过前面的分析，男、女生在各种得分上均无显著性差异. 也就是说，男、女生对这部分内容的掌握程度是相当的，这也比较符合义务教育阶段课程的性质和设置目的. 《标准》指出：义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性. 因此，无论是男生还是女生，学习效果应该是相当的. 另一方面，既然课程具有基础性的特点，特别是初一数学课程的基础性更强一点，那么从整体答题情况来看，学生显然没有达到这一要求，这应该引起学校教师的重视.

结论及建议

有理数可以说是初中数学最重要、最基础的内容，但它的掌握却不那么容易. 通过研究，我们得到如下结论：

学生对“+”“-”作为运算符号和性质符号的两种意义只有一半左右的学生能够完全掌握；对绝对值、倒数和相反数的掌握不好.

学生对有理数度量子结构掌握得非常不好，较难把握度量单位与已给定值的关系；但对有理数的商子结构掌握较好，对分数、小数以及百分数等的关系理解较完整.

从学生对Q5和Q6的回答来看，无论是基于数字的还是基于字母的，学生对有理数稠密性的理解都不错，给出的解释也比较新颖，有一定的深度，并且学生对这两个问题的回答是相互独立的.

对于前四个题目及其总分来说，性别因素在得分贡献率上均处于不显著水平，即男、女生的回答没有显著性差异.

本次调查时间处于初一上学期期末考试前夕，学生复习任务繁重，不乏有学生对问卷应付了事. 因此，学生对有理数概念的真实掌握情况应该比问卷反映的结果要稍好一些，但也不容乐观. 针对上面反映出来的情况，我们给出如下建议.

1. 明确新旧知识的联系与区别，帮助学生建立新的认知结构

有理数的学习扩展了学生对数的认识. 学习有理数，最重要的就是把负有理数同化到正有理数的认知结构中去. 这一过程的难点就是要让学生理解“+”与“-”作为运算符号和性质符号，擁有两种不同角色. 因此，对于不同状态下的两种符号，教师要帮助学生理解它们的性质与特点，耐心地引导学生进行区分.

其次，对于任何一个有理数，我们都可以在数轴上找到它的一个对应点. 在数轴上，负有理数是0左边的数，在数轴0的右侧有一正有理数，那必然在0的左侧有一负有理数，该负有理数的性质和正有理数的性质正好相反. 因此，教师可以利用这种关系，对负有理数进行加工、改造，帮助学生建立起正有理数与负有理数之间的联系.

2. 提供足够的直观材料，丰富学生的活动经验

在皮亚杰的认知发展理论中，12岁左右的学生正处于从具体运算阶段向形式运算阶段的过渡时期，处于这一阶段的学生的抽象思维还没有正式形成，他们只能联系具体事物进行思考，思维的内容与形式尚未分离. 因此，在教学过程中，教师应尽可能提供一些直观的学习资料，让学生能够从具体的事物和材料出发进行思维，通过对直观材料不断地重新建构，逐渐在学生头脑中形成对知识的抽象表征，完成对新知识的心理建构. 比如，可以通过温度计引入数轴的概念等. 同时，以实物为支撑的抽象化过程，又能促进学生抽象思维能力的发展.