曹辰

[摘 要] 数学新课标明确指出，数学思想是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括. 在教学中，如果能从数学思想的高度去规划、设计教学过程，会明显提升学生对数学的认识. 本文通过在教学中对问题进行梯次设置，将复杂问题转化为熟悉问题的方式，培养学生的化归思想，进而提高学生解决数学问题的能力.

[关键词] 化归思想；问题转化；教学案例

研究背景

《义务教育数学课程标准（2011版）》明确指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.”作为数学思想方法的典型代表，化归思想方法已成为一种普遍运用的思想方法，不仅在数学家的研究工作中，在中学数学教师的教学实践中也得到了广泛的重视和运用. 新的数学基础教育课程改革把思想方法的重要性提到了前所未有的高度. 张奠宙教授认为“所谓化归方法，就是将一个问题A进行变形，使其归结为另一已解决的问题B，既然B已解决，那么A也就解决了”，其转化过程如图1所示.

在中学学习阶段培养学生的化归思想，对于学生更深、更透彻地理解数学，有着不可替代的作用. 如果能够在日常教学中设计一些专题训练，通过梯度设置问题，就能更好地整合内容，引导学生发现问题之间的联系，进而培养学生的化归能力.

研究设计

为了更好地向学生展示化归思想在数学学习中的应用，本研究将旋转问题与尺规作图进行结合，设计了3道系列问题（如表1）. 问题1的设计意图是在一个简单的数学情景中，让学生回忆用尺规画等边三角形的方法，做化归之前的准备工作；问题2的设计意图是要求学生具备一定的推理能力，希望学生经过对已知条件进行推理和分析后，将问题2转化成问题1的情景；问题3的设计意图是，希望学生解决前两问后，经过推理和分析，将此问题转化成前两问的问题情景，最终达到此问题的解决.

笔者的教学目的在于通过尺规作图培养学生在几何学习中的化归思想. 每道題均包含等边三角形的尺规作图，但通过对等边三角形顶点位置的限制，每道题的难度逐步上升. 希望学生在思考问题的过程中，发现新问题与原有情景之间的联系，并将新问题进行转化.

研究过程？摇

在课堂中，笔者首先提出问题1. 在选取点B后，所有学生均回忆起了等边三角形的尺规作图，非常顺利地完成了作图，如图5.

完成问题1后，所有学生均回忆起了等边三角形尺规作图的画法，达到了问题1的设置意图. 说明全班学生对于课标中要求的尺规作图知识有了很好的掌握. 在此基础上，为进一步考查学生的化归思想，笔者提出了问题2.

笔者给了全班学生5分钟的尝试时间，60%的学生顺利地完成了作图. 在课后访谈中，笔者选取了3位成功解决问题的学生与2位未能解决问题的学生，听取了他们的思考过程. 5位学生均表示，他们发现该问题无法像问题1一样直接确定点B的位置，进而作出等边三角形. 但成功解决该问题的3位学生又表示，既然点B会出现在直线i上，只要等边三角形ABC存在，∠BAC=60°是始终不变的，因此只需要确保∠BAC=60°，即可在直线m上确定点C，再与点A结合，利用第一问的方法作出等边三角形，即可确定点B的位置.

在所有成功解决问题的学生中，均出现了类似图6的作图痕迹. 这说明学生已经把问题2中相对复杂的问题情景，转化成问题1中已经解决过的熟悉问题，进而完成了问题2. 在完成了∠BAC=60°的作图后，点C既在射线AC上，又在直线m上，所以点C为这两条线的交点. 确定了点C的位置之后，可以完成等边三角形ABC的作图，如图7（问题2完全解决）.

这道题较高的完成度，说明大部分学生对于等边三角形边、角性质已经具备较强的转化能力，其化归流程符合张奠宙教授的表述，如图8.

在问题3中，题目对等边三角形三个顶点的位置作出更加苛刻的限制，全班学生尝试的思路各异，均不太理想，没有人成功解决. 学生的典型尝试作答结果如表2.

既然没有学生成功解决问题3，说明该问题的设置已经超出了学生现有的认知水平，导致学生无法将问题3直接转化成前面已经解决的问题. 为此，笔者将问题1、问题2组合在了一起，提出了问题2.5，希望通过条件与结论的提示，让学生在解决该问后，可以成功解决问题3（如表3）.

同时，因为点B是直线m上任意一点，随着点B在直线m上运动，其对应点C会始终处于直线BC上，说明顶点C的运动轨迹即为直线BC. 因此，完成等边三角形ACB的作图，即问题2的作图后，就可以直接确定顶点C的运动轨迹. 此时，全班共有50%的学生完成了三点共线的证明，意识到点C的运动轨迹为一条直线，完成了从问题2.5到问题2的转化.

最后，笔者带领学生重新审视之前未解决的问题3.

根据问题2.5的探究结论，根据点A与直线m的位置，可以直接作出点C的运动轨迹，即图13中新出现的直线. 再结合原题，会发现问题3中的点C既会出现在直线n上，又会出现在轨迹直线BC上，因此，符合题意的等边三角形顶点C会出现在轨迹直线BC与直线n的交点处.

确定了点C的位置后，线段AC即为等边三角形的边长，最终得到符合题目要求的等边三角形ABC . 在问题2.5阐述清楚并进行严格证明后，全班有80%的同学将问题3进行了成功转化，完成了之前无法解决的问题.

在问题3的教学过程中，转化流程比从问题2到问题1的转化流程要复杂一些，如图14. 其中，问题2.5的设置对于问题3的解决具有决定性作用.

研究反思

1. 教学过程

结合课堂教学效果过程，笔者意识到需要严格基于学生的能力对问题进行梯度设置. 在最初设计中，问题2与问题3之间的跨度太大，导致没有任何一个学生在问题3中可以产生有价值的结论. 随着问题2.5的添加，学生对问题3的接受程度会有明显的提高. 在几何的学习过程中，经常需要利用化归思想，将问题进行转化. 在问题2中，在无法确定边长的情况下，转而去研究角度性质；在问题3中，既然无法在直线n上确定点C的位置，转而去研究等边三角形顶点C的运动轨迹，这种将复杂问题进行转化的思路在学习数学、研究数学的过程中经常使用.

2. 教学理念

通过本节课的教学设计，笔者发现如果通过对练习进行梯次设置，引导学生将新的问题转化为已经解决的问题，将会明显提高学生对于不熟悉问题的接受、理解程度. 学生在学习数学的基本知识时，首先要在教师的启发下先对化归思想产生感性认识，进而在反复理解、使用的基础上达到理性认识. 重视和加强化归思想的教育过程中，教师的作用至关重要. 中学数学教师不仅要有扎实的数学功底，还应有较好的化归思想方法素养，才可以将数学知识和数学思想方法有机地联系起来，带领学生更好地理解数学，欣赏数学. 在学习数学的过程中，只有始终从数学思想方法的高度去理解数学，才能更好地解决数学问题，提高数学素养，培养数学能力.