数学教学中拓展型问题的设置
2017-02-20朱建明
朱建明
摘要 数学拓展型问题作为一类特殊的数学问题，它是推进学生开展探究性学习的有效载体。设计拓展型问题不囿于课本知识，可以紧密联系生活实际，延伸教学内容，也可以综合各领域知识，渗透数学思想方法等。设计好数学拓展型问题，对激发学生学习数学的积极性、主动性，提高教学学习能力，培养创新意识具有重要作用。
关键词 数学教学 拓展型问题 教学设计 自主探究
数学新课程强调教师在教学中要关注不同学生的学习需要，为学生提供丰富的学习素材和足够的思维空间，开展适宜的数学活动，使每一位学生都能得到充分的发展。为此，在教学中适时地设置拓展型问题，获得了广大数学教师的认同。
拓展型问题就是从数学教学的实际需要出发，基于学生的知识水平和认知能力，适度延展教学内容，设计具有一定探究性的问题，通过有效的教与学的方式，帮助学生理解知识、掌握技能、积累经验、培养能力。下面以南京市正在使用的江苏科学技术出版社出版的初中数学教材《义务教育教科書·数学》中的教学内容为例，谈谈教学中设置拓展型问题的实践与思考。
一、在启课教学中拓展要有“冲突"
在知识发生阶段设计的拓展型问题，要积极面向学生丰富的生活世界，使其不仅富有趣味性，而且具有挑战性，使学生面对适度的困难，形成“认知冲突”，以此激发学生的探究热情，让学生在自主探索、合作交流中建构新知识。
例1“5.1物体位置的确定”（八年级上册）
上课之初，出示问题：
如果明天我班召开学生家长会，某同学的父母不知学校、班级的位置在哪里，你将如何向他们描述，以便他们能顺利找到？
这个联系生活的拓展问题，蕴含了数据描述与定位的内在“冲突”，需要学生借助生活经验，通过课堂中的交流讨论，尝试利用数据描述学校、班级的位置，包括学校的门牌号、班级所在的教学楼、班级的编号等等，使学生理解数据与位置之间的对应关系，体会数据在物体位置确定中的作用。
例2“2.1圆（第1课时）”（九年级上册）
（1）上课之初，请两个学生在黑板上用粉笔徒手画圆；
（2）讨论：不用圆规，怎样才能画得圆些？
本例通过学生徒手画圆，以及讨论怎样才能画得圆些，使学生经历尝试操作和分析调整，引导学生用塑料线绑住粉笔画圆，并参与给圆下定义：在平面内把一条线段绕其一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的图形叫做圆。本例从操作画圆到学生参与下定义，渐次显现这一拓展问题的数学思维价值。
二、在知识巩固中拓展要有“门径"
在数学课堂教学中，当得出新的概念、定理、公式、法则后，为了加深学生对新知识内涵的理解，可以利用某些问题的变式设计拓展型问题，帮助学生挖掘内涵、界定外延，全面准确地理解新知识、掌握新方法。
例3“6.4探索三角形相似的条件（第2课时）”（九年级下册）
教学中，在得到“两角分别相等的两个三角形相似”的定理后，出示问题：请设计一种分法，将图1中的直角三角形分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原三角形都相似，并说明理由。
在本例中，学生分割原直角三角形时，需要不断地构造出两个角分别相等的相似三角形，也就是要反复创造条件使用两个三角形相似的判定定理。通过在分割图形中的尝试、操作、分析、调整，可以增进学生对这一判定定理的理解和掌握。
例4“4.2等可能条件下的概率（一）（第2课时）”（九年级上册）
在课本例题3的教学之后，出示问题：
某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐。
（1）求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；
（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率。
本例是用“树状图”计算等可能条件下的概率，解决简单的实际问题。在画“树状图”时须做到既不重复也不遗漏地列出所有可能出现的结果，这里，画“树状图”就是搭建分析处理问题的平台，相对于教材中的例题，本例是另外一类典型问题，画的“树状图”也不同。通过这个问题，可以促进学生对用“树状图”解决概率问题方法的理解和掌握。
三、在知识应用中拓展要有“规律”
数学课堂教学中，在知识的应用阶段设计拓展型问题，可以适度延伸拓展教学内容，关注各领域知识的联系，强调知识的综合和应用，突出数学思想方法，通过学生的探索研究、教师的适时启发，使学生能综合运用所学知识去分析问题和解决问题，感悟其中内在的数学规律，提高学生的数学认识能力。
例5“12.3二次根式的加减（第2课时）”（八年级下册）
在课本例题4的教学之后，出示问题：
如图2，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD。以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上。求AM，DM的长，并请说明AM2=AD·DM.
本例中，画图的过程实际上是求作线段AD的黄金分割点M的过程。本题是二次根式加减运算在几何问题中的一个直接应用，实际上也是用根式运算描述黄金分割的本质和特性。经过本例的教学，可以提高学生对二次根式与一些特殊图形之间内在关系的认识。
例6“2.2轴对称的性质（第2课时）”（八年级上册）
在课堂小结之前，出示问题：
（1）如图3，方格纸中的直线l1∥l2，直线l1与l2的距离为3，如果点P到直线l1的距离为a（a<3）。点P关于直线l1的对称点是点P1，点P1关于直线l2的对称点是点P2，那么PP2的长是多少？
（2）如图3，方格纸中的直线l1与l2交于点O，它们的夹角为θ（0°<θ≤45°），点P关于直线l2的对称点是点P1，点P1关于直线l2的对称点是点P2，那么∠POP2的度数是多少？
本例拓展了课本研究一次轴对称变换的问题，定量研究两次变换后的图形之间的内在关系。问题（1）中，两个对称轴是相互平行的，要揭示的规律是：一个点与经过两次轴对称变换后所得的点之间的距离问题；问题（2）中，两个对称轴是相交的，要揭示的规律是：一个点与经过两次轴对称变换后所得的点与交点构成的角的度数问题。它们既是轴对称性质的直接应用，也是轴对称变换中蕴含的另一些可以定量描述的性质。
四、在小结回顾中拓展要有“增益"
数学课堂小结是教师引导学生对一节课所学内容的总结和再认识，它也为后续学习做好铺垫和准备。在小结回顾阶段设置拓展型问题就是在课末提出有一定思维价值的问题，帮助学生边梳理知识，边作进一步探究和思考。由于小结所处特殊的教学时段，可以与学生课后思考相连，因此设置拓展型问题具有相对较大的弹性和空间，形式上也可以更加丰富多彩。
例7“9.5多项式的因式分解（第4课时）”（七年级下册）
在本课课堂小结时，出示问题：
（1）阅读下述材料：
对一些二次三项式，如果利用完全平方公式，可以将它们变成两个整式的平方，我们就能对它们进行分解因式，例如可以如下分解因式x2+2x-8：
x2+2x-8=x2+2x+1-9=（x+1）2-32
=[（x+1）+3][（x+1）-3]=（x+4）（x-2）.
（2）參照上述方法，将下列各式分解因式：
①x2+4x-5；②x2-6x+5.
本例的小结，是通过新的问题情境，梳理了利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解这一方法，同时延伸了教学内容，以一类二次三项式作为探究素材，学习了一种新的因式分解方法，拓展了学生的视野。
例8“3.1平均数（第2课时）”（九年级上册）
在本课课堂小结时，出示问题：
某养鸡场分3次用鸡蛋孵化出小鸡，每次孵化所用的鸡蛋数、每次的孵化率（孵化率=（孵化出的小鸡数/孵化所用鸡蛋数）×100%）分别如图5、图6所示。
（1）求该养鸡场这3次孵化小鸡的平均孵化率；
（2）如果要孵化出2000只小鸡，根据上面计算结果，估计该养鸡场要用多少个鸡蛋？
本例中，依据两张统计图呈现的数据信息，再一次对“平均数”进行了梳理和总结，接着利用平均孵化率进行预测，将平均数、统计图的应用、样本估计总体的统计思想结合在一起，能有效提升学生利用统计知识解决实际问题的意识，感悟数学的价值。
总之，教师在设置拓展型问题时既要依据教学要求，又要根据学生的数学现实，把握好难度、深度，让学生亲历探索研究的过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方法，这对培养学生的创新意识，提高学生的数学素养具有重要意义。
[责任编辑 郭振玲]
