朱仁良

[摘 要] 通过分析普通高中高三学生数学思维能力存在主要问题，根据有效教学理论和《数学课程标准》要求，结合自己多年的高三教学经验，阐述了培养激发高三学生数学思维的途径和方法，即教师为思维而教——变“组织教学”为“问题激发”； 变“讲授方法”为“主动探究”；变“巩固知识”为“自我总结”；变“方法运用”为“实践创新”. 学生为思维而学——巧设问题情境，诱导学生思维；善导问题发展，启发学生思维.通过探究不同的解题策略和对学生思维激发、启迪，增强了学生学习数学的积极性，同时提高了学生的数学思维能力.

[关键词] 数学思维；问题激发；思维激发；主动探究；实践创新

[?] 问题的提出

《数学课程标准》指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式. 这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程. 同时，高中数学课程设立“数学探究”“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯. 高中数学课程应力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识. 高考的竞争是人才的竞争. 我们的学生必须学会学习，学会合作，学会思考；必须要有学生自己的数学思维.而目前学生的数学思维能力主要存在问题有：

1. “记忆性”低端思维多，“自主性”高端思维少

记忆意味着继承，思考意味着创造.复习教学更需要的是创造，因为创造是继承的目的. 当今世界千变万化，为了使学生将来能适应环境，就必须培养学生的灵活性思维. 思维能力的培养不是一朝一夕所能做到的，需要长时间的训练. 结合高中教学的特点对学生进行思维灵活性的训练是行之有效的方法. 实践证明，挖掘培养学生的思维能力，使学生的思维火花在学习过程中时时闪烁，前提是让学生学会思考. 常用“传授式”的课堂中的那种满堂灌的教学，已不能适应复习教学的课堂. 教学的主要任务不是叫学生记住教师的思考，而是引导学生产生自己的思考；不是要让学生记教师讲的思想，而是要让学生学会自己思，自己想.而应致力于激发学生的思维，使学生独立、自主、自由地思考. 数学是理性的，也是感性的. 在感性和理性的交融中，不断唤起形象，撞击思维，催发情感. 师生以数学为载体，以形唤形，以智启智，互相感召，就能最终实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展.

2. “启迪性”低端思维多，“发展性”高端思维少

我们经常会看到这样一种现象：为了启发引导学生解决某个数学问题，教师根据自己的设想以问题串的形式设计一个教学思路，从表面上看，教师采用了启发式教学法，教学很顺利，学生听得很舒服，似乎都明白了. 可是有的学生做完题目却说：“我拿到了这个问题时并不是这样想的.” “我真不知老师是怎么想到这个好方法的？”更多的学生在作业中或之后再次碰到类似问题时还是不能给出正确的解答. 那些思路难免太人为化，缺少最真实的思维过程，与学生的思维会有一定的差距，学生听得再明白，但那种最原始的分析和探索研究过程并没有在学生中体现.

复习教学的过程实际上是学生开展数学思维活动的过程，在这一过程中，学生在教师的引领下，围绕数学问题展开数学思维，进而获取数学知识、提升解决问题的能力. 由此可见，在复习教学过程中，教师如何让学生开展数学思维？开展一种什么样的思维过程？非常值得我们认真地研究.

3. “模仿性”低端思维多，“创新性”高端思维少

为了使复习教学更有效，在短时间内让学生顺利地弄懂所学的知识和学会解决问题，让教师对课堂做了很多理想化的设计，使得能让学生按照我们的设计线路更容易地就找到了解题途径，同时教师把自己与学生的最真实的思维做了加工和阻止，使得学生的想法得不到展现，这是课堂上的“假”思维.

复习教学课堂上的思维过程，由于许多人在思考相同的问题，而对同一个问题每个人的思维过程一般又不同，所以就显得更加复杂，但这样会让学生之间的思维产生激烈的碰撞. 教育学家陶行知先生曾说：“处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造之人.” 新课程关注课堂生态，倡导焕发师生的生命活力，激发生命创造力，突破旧常规，提出新观点. 教学中提供尽可能多的思维碰撞机遇，增加思维交流和争论. 在“交流与合作”中激发求异思维，在交流争论中培养个人独创性思维、提升学生思维能力.

[?] 理论依据

1. 有效教学理论

以学生为中心，把教师主导作用与学生主体作用有机结合，辩证统一在学生的学习和发展上. “学习中心论”是有效教学的基础和核心，它强调：激发和调动学生学习的主动性、积极性和自觉性，提供和创设适宜的教学条件，以促使学生形成有效的学习，促进学生发展. 有效学习论以学生学习为中心，学生学习的原有状况是教学深化的根本出发点和依据，备课当然要“备教材”，但主要的是“备学生”，重在根据学生学习的实际情况，找出教材内容与学生实际认知结构之间的结合点；“教材内容”为学生的“学习内容”；课堂教学是教学生学习，教学过程中学生是“主角”，教师是“导演”，教学活动围绕学习活动，教学进程、进度、节奏等一切以学生的学习情境为转移；教学评价以学生学习过程及结果为标准，不是看教师讲得如何，而是看教师为学生创设的教学条件是否适宜，是否有效.

2. 威廉斯（三层面）教学模式理论

威廉斯教学模式把教学内容、教师行为和学生行为作为一种有机的联合体系，他们的关系是互动和连动的，课堂教学过程就是三因素的和谐共振与有机联动. 他们互相影响、互相牵制、又互为增长发展的条件.

第一层面：（教学内容）通常被课本和教学大纲规定和限制；但可以根据学生行为，通过教师行为进行调控和发展.

第二层面：（教师行为）就是教学策略和手段；以学生的学习行为表现作为依据，适时控制教学内容和教学任务.

第三层面：（学生行为）主要包括（认知领域的）流畅的思维、变通的思维、独创的思维和（情感领域的）好奇心、冒险心、挑战心和想象力.

3. 基本理念：思维的激发

本课题研究包括是教师的“教”和学生的“学”两个方面. 教师为思维而教——变“组织教学”为“问题激发”、 变“讲授方法”为“主动探究”、变“巩固知识”为“自我总结”、变“方法运用”为“实践创新”；学生为思维而学——巧设问题情境，诱导学生思维、善导问题发展，启发学生思维、正视错误资源，启迪学生思维. 探究不同的解题策略，最终问题解决，培养学生的思维能力.

[?] 实践研究

1. 为思维而教

长期以来，“学生苦学，教师苦教”，现已成为一种习惯，可是总是收效不大. 我们总是抱怨：（1）一个相同的问题，都讲了这么多遍了，学生还是会犯同样的错误；（2）学生总是没有思考、归纳、总结问题的习惯；（3）学生回答问题时总不能用清晰地语言和思维来表达. 以上现象我们天天在讲，可是又一筹莫展. 造成这样的原因就是学生缺少自己的思维，或者可以说，是我们教师扼杀了学生自己的思维. 我们应该知道复习教学培养学生思维的重要性，作为一名老师如果能够更好地引领着学生去思考，让不同层次的学生在各自思维品质的基础上都能够得到更大的发展，能让学生本质地看问题，努力探索，发现数学问题的规律，那这便是我们教学中最大的收获之一.

如果一个教师常用惯性思维控制了自己的行动，用自己的思维去主导学生的思维，那么学生的思维就没有了发生的可能，学生的思维提升，只有落实到改变教师的习惯性思维，相应的教学才有可能“教会学生思维”. 首先教师要有问题意识. 课堂有了问题，学生会在对问题的探究下产生出自己的思维，也能让学生在课堂上体会思考之后的快乐. 同时教师自身有了问题思考，如：每一节课我要达到什么样的目标，除知识外我要引领学生领略数学本质的什么？我如何设计培养学生的思维？其次教师要经常充电，更新自己的教学观念，改变自己的思维方式. 教师要有反思意识，要时常追问自己：我在课堂上是否“控制”了学生的思维.教师自身的思维改变了，课堂上学生的思维才可能得到提高. 如果学生能在教师的带领下每节课都有自己的思考，那么学生一定会形成自己的数学思维.

教学方式对于学生思维能力的影响十分关键.在课堂教学中，科学地掌握思维教学的方法比认识到思维训练的重要性更为关键. 要形成有利于学生思维发展的教学方式至少要做到下述四点.

（1）变“组织教学”为“问题激发”

每一个教师都希望学生对数学学习感兴趣，希望学生一走进课堂就能带着一种高涨的、热烈的情绪从事学习和思考. 要让学生达到这样一种状态，首先要做的应该是激发学生的学习动机，对将要学习的内容产生需求的欲望.

因为，思维是从问题开始的，“问题”是调动学生积极思维的“催化剂”. 在复习教学中，根据教学内容，创设问题情境，把学生引到解决问题中来，使学生意识到问题的存在，从而展开思维去寻求解决问题的方法. 这样就能不断把学生的思维引向深入，就能使学生对新问题进行积极思考、认真探究，就能促使学生认识到旧知识已经不够用，从而产生一种要求掌握新知识的欲望.以问题为中心组织课堂教学活动，是教师输出信息并获得反馈信息的重要途径，是沟通师生思想认识的主渠道. 这样组织课堂教学活动，能够使学生自行发现和掌握知识，更能使学生创造性思维得到锻炼和培养.

（2）变“讲授方法”为“主动探究”

要想让学生的思维展开，必须要摆脱教师生浇硬灌的教学模式，必须让学生走到“舞台”的中心，真正掌握学习的主动权，因为学生是课堂的主人，是学习的主人. 教师在课堂教学中，只有不断确立学生的主体地位，唤起学生的主体意识，发挥学生主动探究精神，才能使学生形成自己的思维.

案例2 图3是某同学在沙滩上用小石子摆成的小房子：

观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了________个石子.

学生马上按学习小组分组讨论探究起来. 只见有的在逐个逐个地数，有的在小声讨论，有的用笔在纸上写着什么……很快，一个小组的学生站起来回答：“老师，我发现第n个小房子用了n2+4n个石子.” 教师问：“不错. 你能告诉我们你们小组的探索思路吗？”这个学生回答道：“我们通过数前四个图形中小石子的个数，分别是5、12、21、32个，而5=1×（1+4），12=2×（2+4），21=3×（3+4），32=4×（4+4），所以按照这种规律，第n个小房子应该有n（n+4）个即n2+4n个石子.” 教师给予充分的肯定，问：“还有其他的思考方法吗？”马上又有一个小组派代表发言：“老师，我们是这样思考的. 把每个图形分成两部分，即上面的一个人字形和下面的一个正方形，这四个图形中上面的人字形中石子个数分别是1、3、5、7，那么第n个图形上面的人字形中应该有2n-1个石子；而这四个图形中下面的正方形的石子数分别是4、9、16、25，那么第n个图形中下面的正方形的石子数应该是（n+1）2个，所以第n个图形中小石子的个数就是2n-1+（n+1）2个，化简得n2+4n个.” 教师很高兴：“太精彩了！其他组还有别的思考方法吗？”

教师用探求的口吻促使学生去探索、去归纳，学生的思维阀门被打开了，学会了把一个复杂的问题分解成几个简单的问题，运用归纳发现了结论，真正使学生在探究过程中长了智慧.

（3）变“巩固知识”为“自我总结”

很多时候教师总是把知识和方法整理在一起教授给学生，让学生把知识保存在记忆里，一旦需要时，就能把它们“倒”出来. 这样虽然能起到巩固知识的作用，但往往扼杀学生自身的思维，不能让学生在学习中学会思考，在学习中得不到发展. 因此，我们要想办法让学生在自我总结的状态下完成对知识、方法的巩固，这样一方面消化、深化知识，并内化成自身的思维，另一方面凸显主体，增强思维，更能养成自主创新的精神.

学生掌握小结：

①解题关键：准确理解f（x）*g（x）=min{f（x），g（x）}的含义，在此基础上运用所学的知识和已掌握的方法或解题经验灵活解题.

②解题规律：分段函数的最值一般均用图象法画出各分段函数的图象，然后观察出它们在各段图象上的最值点，并比较它们最值的大小.

③解题易错点：容易误认为所求的最大值是函数f（x）的最大值或g（x）的最大值.

（4）变“方法运用”为“实践创新”

教师教学生太多的方法，让学生学会应用这些方法去解决同类数学问题，也就是现在学生中经常出现的凭记忆解决数学问题. 苏霍姆林斯基说：“有经验的教师在实际工作中总是遵循这样一个方向，就是在学生的脑力劳动中占首位的，不应当是背诵和记忆，而是借助它来进行思考，进行生动的创作，认识客体、事物、现象和周围的世界，并且认识其极其细微的差别.” 这就是要把“方法运用”变为“实践创新”. 教学活动是否成功，关键要看这一阶段的质量.因为只有组织好这一阶段的教学，才能让学生的学习产生实质性的变化，才能达到教学就是以培养学生思维能力和创新精神为主的目的.

我们知道，创新能力总是在问题解决中发展起来的，问题解决是创新的土壤，并不一定所有的问题解决都包含有创新，但创新无疑都包含着问题解决. “问题”是数学的心脏，“问题解决”的能力是数学能力的集中体现，传统的做法往往是淡化“问题意识”，教者奉献给学生的是一些经过处理的规则问题和现成的漂亮解法，舍去了对问题的加工处理过程，也舍去了制定解决方案的艰苦历程，学生听起来似乎显得轻松，但数学的能力却未能得到应有的提高. 所以要强化“问题意识”，充分展现对问题加工处理过程和解决方案的制定过程. 正是从这一认识出发，笔者讲课注意挖掘教材中具有某种创新价值的问题，引导学生思维发展. 如在进行“分期付款中的有关计算”教学时，笔者做了如下设计：

第一步，提出问题：想买一件较贵的物品，但现在又没那么多钱该怎么办？

第二步，设计解决方案：第一向银行贷款，第二变相向商家贷款也就是分期付款，比较之下当然第二种方案更方便快捷.

第三步，问题的发展：教师在肯定方案正确性和可行性基础上，再进一步提出，如何还贷款，分几次付，怎样付款才能最合算？

第四步，问题的深化：得出付款方案，一般情况下商家提供以下三种方案，一年当中分3次、6次或12次付清.

第五步，设计新问题的解决方案：可让学生根据自己的设计分别计算加以比较得出方法的优劣.

第六步，教师小结，给出合理的解答，得出一般的计算方法与公式.

在这几个问题的引导下，学生的展开了激烈的讨论，并且由于这个问题与生活联系比较紧密，学生的积极性也很高. 在整个计算过程当中一直是学生亲自动手来比较几种方案的优劣，笔者只是适时提出一些建议，给以点拨.

2. 为思维而学

思维不是可以直接由教师传递给学生并由学生完全直接接受的那种东西，它更多的是依靠学生自己在实践中的摸索、体悟和积累，依靠学生有意识或无意识地将这种摸索和体悟所得进行内化，从而逐渐掌握应该怎样思维 .教会学生思维，就是要让学生“知道怎样思维”. 而这需要教师给学生创造思维实践的机会. 思维是可以通过专门的训练教会的. 教学中教师不仅要教会学生知识，更要教会学生思维.

（1）巧设问题情境，诱导学生思维

现代心理学认为：教学时应设法为学生创设逼真的问题情境，唤起学生思考的欲望. 在复习教学中，我们如能让学生置身于问题情境中，让学生品尝到用所学知识解决问题的乐趣，感受到借助数学的思想方法，会真正体会到学习数学的乐趣，就能做到很好地启迪学生的思维.

在高三的复习教学中，知识的梳理是很难的，简单的重复既枯燥又不能引起学生的重视，但通过问题情境就能起到很好的效果，一方面能使学生很好地掌握知识，体会知识间的内在联系；另一方面能使学生数学知识得到进一步深化和发展的同时，分析问题、解决问题的能力得到很好的培养. 如在函数y=Asin（ωx+φ）图象变换数学教学时，由y=sinx的图象得到y=Asin（ωx+φ）的图象时，教学中除了掌握的变换思路外，更为了突出重点内容先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别，通过设置下面的问题情境帮助学生梳理知识脉络.

在这样的问题情境下，不仅能够激发学生的思维兴趣，更能引导学生把思维指向知识的关键处和重点；同时引导学生从解决具体问题的角度巩固数学基础知识，更助于培养学生的发散思维、求异思维以及直觉思维，有利于促进学生从模仿走向创新.

复习教学中通过一系列的问题情境，还可以提高学生思维活跃度. 因为单一的数学问题对开展学生的思维起到的作用并不是太大，而一系列的问题串更能发散学生的思维.如在“直线与圆锥曲线的位置关系”的数学教学中，可以设置下列“问题串”作为问题情境.

已知椭圆C：+=1，直线l：y=ax+b.

问题1：请你具体给出a，b的一组值，使直线l和椭圆C相交.

问题2：直线l和椭圆C相交时，a，b应满足什么条件？

问题3：若a+b=1，试判定直线l和椭圆C的位置关系？

问题4：已知a+b=1，直线l：y=ax+b和椭圆C：+=1交于A，B两点，_______（请你添加条件），求直线l的方程.

上述问题组由特殊到一般，且包含开放性试题，有较大的思维空间，满足不同层次学生的需求，具有较好的探究性，有利于激发学生兴趣，活跃思维.

（2）善导问题发展，启发学生思维

在进行问题解决教学时，在问题已经获解的情况下，可以适当地对原问题进行变更、引申，从而让学生有足够的思考空间，引导学生由单一思维向多向思维拓展，提升学生的发散性思维.如在“导数与函数单调性”复习一课中：

通过上述三个问题的设计，使得学生对一系列与单调性相关的求参数取值范围问题有充分的认识，通过对比、思考更能发展学生的思维.

高三数学教学要使学生的思维动起来，关键是看教师如何设计数学问题并正确运用. 可以说，设计具有价值的问题是一堂课的“灵魂”，有效问题的设计和运用决定着学生思维的量，关系到学生思维活动的深度和广度.

（3）正视错误资源，启迪学生思维

美国数学家波利亚指出：学习任何东西的最好途径是自己去发现. 所以，只要学生能发现的问题，尽量让学生自己去发现.教学中的“问题”一方面来自于教师的设计，另一方面取决于学生，因而通过学生出错的问题，引导学生探究，启迪学生的思维会起到很好的效果.

在数学教学中，作业讲评和试卷讲评是教师很不好处理的一类课，简单地就题讲题，指出错误，订正错误的方式起到的效果并不好，需要我们用更有效的方式来处理此类课堂. 笔者在每天的作业讲评中，针对学生典型的错解，将错误解答板书在黑板上，让学生自己来探究，相互合作发现问题，并解决问题，这样往往能更好地订正错误，更是让学生的思维得到启发，同时学生自己发现错误，更有成就感，印象更深刻.

这是一个学生很典型的漏解问题.板书解答让学生自己分析问题，到底哪里出现问题. 开始学生觉得没有问题，通过让学生仔细分析每一个步骤，相互讨论，得出丢了sinα=0. 同时让学生反思在什么时候需要注意这样的情况.

数学教学可以通过错误来唤起学生内在需求，激发学生参与意识，推进学生思维的进程. 学生在辩误、正误中“悟误”，通过自觉、主动的思维过程，学生真正理解数学知识内涵，同时又能促使学生完善认知.

[?] 研究成效

学生解题达到熟练的程度非常需要，但“熟能生巧”多指操作而言，熟练只能培养解决已知问题的能力，而不是解决新问题能力，培养解决新问题能力， 最好的办法就是自己感悟. 数学是思维的科学，培养学生数学思维能力的主要渠道是课堂，数学教师要把提高学生的数学思维能力当作一项重要工作来抓.教师要不断反思自己的教学行为，重视教学的每一个环节，比如例题的选择、设计，不仅要站在学生的角度，还要站在命题者的角度去探索培养学生数学思维能力的最佳途径，备课时至少要考虑四个方面的问题：（1）本题考了哪些知识点？（2）如何审题、破题，打开解题思路？（3）本题主要用了什么思想方法和解题方法、解题技巧？（4）如何通过本题的分析培养学生的思维能力？相信只要老师在教学上做个有心人，我们学生的知识水平、解题能力必然就会有较大的提高，就能用眼，用心，用脑“听懂”题目，激发学生的思维.

1. “思维的激发”提高了学习数学信心

要改变传统教学中学生的被动学习方式，其关键取决于教师教学方式的变革. 以往的数学课堂中，一切都是按部就班地进行.教师在备课中设计好了整堂课的教学程序，学生的主体性得不到发挥，很少有学生能提出问题. 而在探究式教学中，教师的角色得到转变，通过设计问题情境，引导学生进行探究，组织学生进行小组学习，学生通过实验、操作进行观察、分析、探索、猜想和归纳，从而亲身体验数学、理解数学，学生的学习已由接受性学习转变为探索性学习. 从实验中可以看出，大部分学生的学习积极性得到了很大的提高，变得会思考了，常常会向教师提出“为什么.”

2. “思维的激发”拓展了探究问题空间

具有创造性思维的特点，也体现深刻性、独创性、敏捷性、批判性等数学思维品质. 培养学生创造性思维能力应是有层次的，它包括：独立思考，自主地参与学习过程，求新求异，探究、创造的渐进的过程. 在数学探究式教学中，学生通过观察、实验、分析、猜想、归纳发现数学，使数学教学成为再创造、再发现的教学. 在这一过程中，学生的创造性思维能力得到了提高. 教学实践表明，以“思维的激发”为核心的数学教学，为学生提供了主体参与、积极探索、大胆实践、勇于探究的学习环境；扩展了获取知识的空间，改变了学生的学习方式；使学生的主体参与意识得以加强，使学生的探究意识得以提高. 在课堂教学中实施探究式教学，学生的能力得到了全面的提高.