李建明

[摘 要] 坐标法思想是解析几何内容的核心素养之所在！也是平面解析几何学科育人价值的重要体现，这一价值是其他所有高中数学学科分支所无法实现的，其独特功能无可替代. 它应该也必须贯穿平面解析几何学教学的始终. 设置导言课“先行渗透”坐标法思想，对帮助学生认识、理解这一新的学科分支意义重大.

[关键词] 坐标法思想；导言课；先行渗透

“在数学中得到的训练和修养会很好地帮助我们学习其他理论，数学素质的提高对于个人能力的发展至关重要”（人教版教材《主编寄语》）. 新一轮课改也要求学科教学要能够更好地培养学生今后发展所需的学科核心素养！什么样的课堂教学能让学生得到这样的训练与修养呢？笔者认为需要思考两个问题：首先要明白数学学科到底应该教给学生什么，某一数学学科分支的核心育人价值在哪里；其次就是课堂教学如何最大限度地发挥该学科的独特育人价值以提升学生发展的核心素养. 本文尝试以《解析几何》这一数学学科分支内容为对象，谈点个人的体会与认识，敬请批评指正.

[?] 坐标法思想是《解析几何》的核心素养之所在

当前中学数学课堂教学中，认为解析几何就是研究直线、圆和圆锥曲线的方程及其性质的学科的师生普遍存在，应该说这种认识既狭隘又片面. 事实上，解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想. 课程标准指出，在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；其次，处理代数问题；最后，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题. 这里的几何问题可以覆盖中学所有的平面图形，至于通过研究什么曲线来经历上述过程实现课标要求并非问题的本质，教材的设计是让学生通过对几种特殊平面图形（直线、圆及圆锥曲线）的坐标法研究过程，来体会用代数方法处理几何问题的思想. 可见坐标法思想才是解析几何内容的核心素养之所在，也是平面解析几何学科育人价值的重要体现. 这一价值是其他所有高中数学学科分支所无法实现的，其独特功能无可替代. 它应该也必须贯穿平面解析几何学教学的始终.鉴于以上认识，我们认为坐标法思想是高中解析几何学科的核心价值之所在，它在培养并提升学生发展核心素养上能起到独特功能.

[?] 导言课“先行渗透”坐标法思想的意义与教学目标

人教A版高中数学教材每章都有章头图与章引言，对全章内容与思想方法进行统领性的介绍，但限于篇幅与内容特点，这种介绍无法呈现“解析几何”内容所特有的历史地位与思想价值，无法让学生充分感受到坐标法思想的精髓与灵魂，这种简要介绍只会让学生产生并留存下更多的疑惑，为此我们认为有必要设置一节融章头图与章引言内容在内的“导言课”. 它既是起始课，也是统领课. 通过导言课，我们要帮助学生站在整体与全局的视角了解这一学科的历史起源，通过具体案例帮助学生体会坐标法思想实现的可能性，通过经历实际问题的探究过程了解解析几何学科的研究方法与手段，感悟它独特的思维方式与育人价值. 从先行组织者的观点看，通过导言课“先行渗透”坐标法思想，对帮助学生认识理解这一新的学科分支意义重大.

设置导言课还有助于学生在整个解析几何内容的学习过程中，都能在坐标法思想光芒指引下不断提升发展核心素养. 学生通过这节课体会了坐标法思想与坐标法解决问题的方法步骤后，就相当于从此挂起了一盏导航明灯，从此学生就能在此明灯的光芒照射下在教师的适当引导下展开研究学习. 虽然在具体问题的解决中会碰到不同的曲线，会有不同的形成规则，也会有不同的代数形式，处理代数问题的过程会略有差异，但坐标法思想不会改变，问题解决的基本过程与步骤几无差别. 如果能切实地将这一思想贯穿于平面解析几何学科分支的整个学习过程的始终，可以相信，在本内容学习结束之时，坐标法思想一定会在学生思维深处留下深深的烙印，解析几何的独特育人价值一定能在学生身上得到体现，学生在这一学科分支的核心素养就能得到很好的培养与提高.

[?] 实践与探索——充满生机与活力的导言课

鉴于以上的认识与设想，我们开展了系统的研究与探索，取得了一些共识与成果，下面通过《解析几何导言课》的设计教学谈谈具体的实践与体会. （实践案例的教学过程）

1. 回顾与欣赏

我们今天开始将要学习的数学内容有“近代数学的第一个里程碑”的美誉.这是一座什么样的里程碑呢？在这座里程碑之前我们的数学都走过了一段什么样的路途呢？让我们沿着数学发展的历程，一起来回顾与欣赏数学的产生与发展，慢慢走近这座丰碑！

问题1：从小学到现在，我们都学习过哪些不同的数学分支？你知道代数学研究什么内容吗？几何学又研究什么内容呢？（代数主要研究数与式的运算，几何研究三角形、四边形、圆等几何图形的性质）

我们学到现在所掌握的代数与几何知识在历史上相当于16世纪末的水平，此时的几何学就像个“帅小伙”，已长得既帅气又有内涵；而代数学就如同一个漂亮的“小姑娘”，出落得亭亭玉立，做起事来细心又精致. 但直到十五世纪末，小伙与姑娘始终保持着一定的距离，几乎没任何关联.

设计意图：通过不点题的介绍，了解即将学习数学分支的重要性，同时通过简单复习回顾，理清代数学与几何学所研究对象与研究方法的差异，为后续问题的解决做好铺垫. 将数学知识的复习以“讲故事”的方式演绎，可以增强数学的趣味性. 拟人的比喻能够展现数学的幽默与灵动，让课堂充满生机与活力.

让我们来一次集体“穿越”，来到十六世纪的欧洲：随着科技的发展，天文、力学、航海等对几何学提出了新的需要. 比如，天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿椭圆轨道运行的；伽利略发现抛掷物体是沿抛物线运动的.

要研究解决这些问题，需要运动学知识，需要精确测定经纬度，需要研究曲线的切线，这些都难以仅用静态几何的方法来解决. 显然我们碰到了新问题.

问题2：面对一个新问题需要解决时，我们习惯的办法会怎么做？（试图用老方法来解决）如果老方法解决不了新问题，又该做怎样的思考？哪些问题是值得我们分析的？

设计意图：借用富有时代气息的词句引领学生一起走进历史的时光隧道，帮助学生感受历史的真切感，在学生感觉身临其境的状态下引导他们一起展开思考与分析，可以最大限度地激发学生的身心状态，全身心地投入问题的思考中. 问题2的设置不只给学生思考问题解决的途径，更重要的是帮助学生建立了一种分析处理新问题、解决新问题的基本模式与套路.

2. 思考与变革

面对一个新问题，我们习惯的思维是尝试可能的老方法来解决，如果老方法解决不了，我们必然会寻求新的方法，如何能找到新方法呢？下面这些问题是值得我们思考与分析的：

问题3：天体运行的几何形态（新问题）与初等几何研究的几何图形（老问题）的本质区别是什么？（展示两个对比图，图3以动画形态呈现：行星绕着太阳沿椭圆轨道转动）

问题4：如图3，要研究这一类新问题中天体运行的状态（比如说要确定在某时刻该行星运行在什么位置、抛出的物体在某时刻会飞到什么地方等），你认为需要什么手段？

设计意图：通过对比图的设计，帮助学生体会两种几何形态的差异：动态与静态！动态的几何图形是由点按某种方式运动后得到的，这是我们现在碰到的几何形态的一个共性. 问题4引导学生思考如何用数学的方法把握这样一种运动的形态，帮助学生自己想到用代数计算的方法来实现，给学生模拟经历数学方法在需要之中被“再发现”的机会.

事实上，在真实的历史发展中，十七世纪法国的两位数学家的基本数学思想与我们刚才的想法是一致的，正是他们大胆的设想与艰辛卓越的工作，这样的丰碑才得以建立. 先让我们一起来了解一下两位伟大数学家和他们取得的成就（通过课件出示两位科学家的头像并对其生平和对数学的贡献进行介绍）：

当时的他们各自独立地都把精力集中在研究怎样把代数方法用于解决几何问题，让我们沿着他们的足迹，继续寻求如何实现用代数计算的方法来解决动态几何问题.

问题5：要实现代数方法解决几何问题，首先要解决的是将几何元素用代数形式表示出来. 根据我们目前所学知识，你认为要实现上述设想有条件吗？什么工具能帮助我们实现？（将几何元素表示为代数形式）

设计意图：通过介绍两位数学家的思想与成就，一是帮助学生了解解析几何发明的真实背景与历史，二是让学生感受到我们今天一系列的思维与想法与当年伟大数学家的思想很相近，油然而生的自豪感可以激发学生更积极主动地思考问题.

3. 突破与创新

我们马上就能想到：在初中我们学习过坐标系，已经有了将点用一对有序实数对（坐标）表示的经验. 如图4，在平面直角坐标系中，平面上任意一点都能用一个坐标来表示，反之，任何一个坐标都表示了一个点.坐标系帮我们实现了将平面上最简单的图形（点）用代数形式（坐标）表示.

问题6：坐标系也能帮助我们把平面上其他图形（特别是我们试图研究的动点形成的曲线）用代数形式来表示吗？

数学研究具体问题的方法总是从简单与特殊情形入手，点按某种规则（无规则的运动显然是无法研究的）运动后形成的图形什么最简单呢？（直线与圆）限于时间，我们只选择一种来尝试研究，请同学们选一种. （本案例采用圆）

设计意图：坐标系的提出务必要在教师的引导和帮助下由学生自己提出来，才能感受到发现新方法的激动；有了这一发现就能自然地想到提出问题6并跃跃欲试地想找条曲线来尝试，学生的主动性就自然流露出来了.从而又引出了下一个问题.

问题7：结合我们用圆规画圆，从运动的角度看，圆是由点如何运动所形成的曲线？它遵循什么样的规则？

问题8：面对这样一条曲线，使用坐标系来表示它、研究它，你会怎么建立坐标系？这个圆是由点有规则地运动形成的，那么圆上所有点的坐标肯定会受这种“规则”所制约，而且每个点的两个坐标x，y相互之间也肯定会有制约，你能找到反映这种制约的关系式吗？

这里有几个概念要帮助学生理解清楚：数学如何实现对无数个点的研究？圆上所有点受到的制约是到圆心的距离为定值，每个点的坐标x，y受到的制约是x2+y2=r2（勾股定理），也就是圆上所有点的坐标都满足关系x2+y2=r2，这个式子在代数学上叫什么？

问题9：前面我们说，几何图形就像小伙子，代数式就像小姑娘，数学就如同生活一样，当小伙子全身心付出爱的同时，他肯定会希望小姑娘也能付出所有的爱，也就是说以这个方程的解为坐标的点都在圆上吗？

解决了上述问题，就得到以下事实：在平面直角坐标系的帮助下，圆上所有点所形成的集合与方程x2+y2=r2的解确立的坐标的集合之间就形成了“无缝隙”的一一对应的关系，这样我们就得到了上述研究思路与结论的一个框架路线图：

设计意图：通过上述实例研究，帮助学生了解解析法思想，帮助学生认识到通过建立直角坐标系，用代数形式表示几何元素是可能的，并从学科整体上了解解析几何学科所研究问题的形态，研究的内容、方法以及研究方向，为后续学习与研究高高挂起一盏导航的“明灯”.

例题：观察图7，仅凭观察你能判断点A是在圆内、圆外还是圆上吗？有什么方法可以确定点A与该圆的位置关系？请写出过程.

设计意图：通过该例题的解答，帮助学生进一步理解解析法思想，熟悉解析法解决问题的方法步骤，更重要的意图是帮助学生了解、体会解析法在解决动态几何问题时的优点，认识解析法思想伟大的意义，理解解析几何学科能被称为“近代数学的第一个里程碑”的道理.

本教学设计定稿前在两次的市级教研活动中进行了公开展示，两次实践均取得了很好的效果，学生的反映有以下几点：以前从没有听过这样的数学课，通过这节课清楚了解到解析几何知识发展的历程；第一次感觉到离当年的数学家以及这一学科知识的发明如此之近；以前都是一章内容上结束了，教师才提炼出思想方法，这节课让我们从这章的第一课就了解了坐标法思想，相信对后续内容的学习会更有帮助.

数学任何一个学科分支的核心素养的培养与提升不是一两节课的提炼与训练可以达成的，它应该贯穿整个学科分支教学过程的始终，学生如果从一开始就有机会站在学科思想的制高点一览该学科的源头与流向，他就能在接下来的学习过程中主动朝着主流的方向前行，就能主动积极地运用坐标法思想解决问题，就能对坐标法思想有更深刻的理解与感悟. 相信通过长期的努力与坚持，学生在数学学科的核心素养的培养与提升一定能够得以实现.