卢风平

[摘 要] 数学课堂教学复习课占了很大的比重，本文从复习目标主线的确定、教学环节的规划、教学活动设计的预估分析，谈谈复习课备课中如何进行教学设计.

[关键词] 教学设计；复习课；备课；等比数列

备课应重视教学设计的研究，要多角度分析教学内容，确定教学目标的主线；合理规划每个教学环节，做好素材研究；教学活动设计需进行适宜的预估分析. 对于直接面对高考的高三数学教学更应该重视备课的教学设计研究.在备课之初我们要思考一些问题：这节课的复习价值到底是什么？通过这节复习课知识上应该达到什么要求，方法上需要掌握哪些？预期学生的能力应该达到什么样的高度？显性表现为测验（或考试）能否达到预期的分数？也就是说，备课之前的预备工作就是要厘清本节复习课中需要识记的知识点有哪些，需要理解后记忆的知识点有哪些，需要掌握的方法有哪些，哪些知识是与其他知识有联系的共性知识，哪些方法是需要提升为核心技能的方法，这些共性知识和核心方法是否有必要升华为数学思想，等等. 这些都是教师在复习课备课前要着重思考的问题.本文以苏州市高三一轮复习课“等比数列”为例，谈谈复习课备课中应该如何进行教学设计，不当之处，敬请指正.

[?] 内容形成块，方法形成链，确定复习目标的主线

1. 复习对象的整体分析

从大学数学的角度来看，分析类数学的核心是函数，而函数几乎占据了高中数学的半壁江山. 数列是一种特殊的函数，是定义在正整数集或其子集上的离散函数. 正如等差数列是一次函数（或常数函数）在数列的应用一样，等比数列是指数函数及其推广在数列中的应用.因此，在整个高中数学体系中，应该始终以指数函数的视角来审视等比数列的属性.比如，等比数列中的项是怎样随着下标的变化而变化的，它的项与项之间的关系是怎样的，这些关系与通项之间有着怎样的关联，与前n项和Sn又是怎样取得联系的. 以上这些关系都指向等比数列的项数（也即通项公式中的下标），不论是通项公式还是前n项和公式都是关于项数n的函数，因此函数视角是复习等比数列的一条主线.

数列研究的对象是数，因此复习等比数列必然要研究与等比数列有关的运算，因此，复习内容的另一条主线是等比数列中的运算，重温探寻和建构合理的运算规则，总结等比数列的各项性质，从而达到简化运算的目的. 适当地将运算规则推广，使之能解决比等比数列更为广阔的问题. 比如，等比数列的通项公式是通过“累乘”法求得，原因是从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数，将这n-1个式子左右分别相乘就得到了通项公式，那么比较自然的联想是将这个常数变成一个函数，因此形如“=f（n）（n≥2，n∈N*）”的递推式的通项公式的求解也可以用“累乘”法. 再比如，等比数列的前n项和Sn是通过“错位相消法”来求得的，它的原理是将Sn式子的两边同时乘上公比，从而达到数列的前一项变成后一项，将变形式子向后挪一位，使变形式子的第1项到第n-1项与原来式子的第二项到第n项完全相同，两式相减就全部抵消了. 由此推广到如果中间的n-1项不完全抵消，剩留的项也有一定的规律，这样的规律能直接（或通过变形）求和，因此“错位相消法”可以推广到一个等差数列和一个等比数列的对应项相乘的“等差比数列”求和. 因此“累乘法”和“错位相消法”是本节课的方法核心.

2. 运算角度的算理分析

高考数学离不开算，数列也一样，对运算的要求比较高，这就引发了等比数列中诸多与运算有关的性质. 复习时应立足于让学生充分认识到要能速算、巧算，减小运算量必须认真研究运算问题，必须寻求合适的规则加以转化，因此，应用合适的算法是复习等比数列的基本出发点. 它包括不同项的求和或求积问题如何快速运算，如何将它们通过性质或者变形快速而又准确地算出所要求的结果，就需要“转化和化归”理论给予支撑. 因此，对于等比数列的运算而言要做到“看问题，想变形，用条件，配性质，得结论”.

例如，{an}已知等比数列的前n项的和为Sn，已知=3，则=________. 看到这个题干和所要求的结论，应该自然联想应用等比数列的性质，而不是运用求和公式进行运算，否则运算过程将非常复杂，对数与式的处理能力要求非常高，且多花时间也不一定能得到正确结果.对于寸时寸金的高三学生来说无疑是个极大的浪费. 本例中实质是公比不为-1的等比数列中每连续n项和均成等比数列，运算的算理就是“整体思想”，将每n项固化为一个整体，任意一个整体中的每一项与第一个（或前一个）整体中的每一个项的对应关系找出来，就找到了整体间的关系，由此固化思维对于快速解答此类问题并得到正确结果有很大帮助. 另外，对于等比数列{an}中，若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则am·an=ap·aq，其实也是找整体间的关系. 由此可见，寻求整体间的关系可以作为本节复习课的现行组织者，是学生复习等比数列，乃至其他数列的理论基础，是理解和体会“转化和化归”思想的良好素材.

由此可见，复习课备课时应该注意将内容浓缩成块，甚至浓缩成珠，真正做到“内容为珠，方法为线，一线串珠”. 帮助学生通过复习，在脑海中形成清清楚楚的几条线，而不再是模模糊糊的一大片，甚至还是支离破碎的几个点.

[?] 规划好每个教学环节，合理选编知识点、方法、例题及当堂练习题和作业习题

1. 理好知识网络结构图，选好核心方法，选定合理流程

知识网络结构图是帮助学生理清知识结构、理明数学思想方法的好工具，同样，它更是教师备课的好帮手，能提醒教师哪些知识点必须详讲，哪些知识点只需一带而过，哪些知识点需要配备特定的方法解题，哪些知识点可以用不同的方法解题；针对这些知识点所形成的知识块，哪些方法处于核心地位要在课上将其凸现出来，哪些方法只要隐蔽其中让学生体会即可.

等比数列是数列中的又一特殊数列，因此它的知识源头是定义. 由定义可以引出通项公式，引出的方法有归纳、类比、叠乘等，但这些方法中叠乘处于核心地位，因此在复习时要将它放在突出位置，而归纳和类比不属于核心方法，复习时可以点一下，甚至可以忽略.从通项公式可以导出前n项和公式，导出的方法有错位相消法，运用合分比性质，构造方程方法等，同样错位相消法处于核心地位，复习时要将其放在显性位置，其他几个方法同样可以忽略.将叠乘法和错位相消法放在核心地位的另一个原因是它们可以应用到与等比数列有关的其他知识中.

从高考角度上讲，等比数列的定义、通项公式及前n项和公式处于中心地位的知识是通项公式. 由通项公式可以导出简化计算的变形公式an=am·qn，可以推导出下标的和相等、项的积相等，等距离地抽取一个子数列仍成等比数列，每n项和也成等比数列，等距离地抽取一些项的和也成等比数列等性质，使涉及等比数列项的计算变得快捷准确. 如果将通项公式看成一个中心主城的话，那么定义和前n项和公式两个副中心，连接它们三者之间关系的知识可以看成它们的卫星小城镇，方法就可以看作是这些城市与城市之间，城市与卫星镇之间的道路，这样一张知识方法网络结构图就完成了.

课的流程是指课从哪里开始，走向哪里，最后又在哪里结束. 针对等比数列这节复习课，课的起始应该是等比数列的定义；然后再是通项公式，在通项公式处应有较长时间的停留，将与之相关联的各个知识点与方法都复习一遍，并且配备一定量的例题和课堂练习题以及课后作业；接下来再走向前n项和公式，此处也要配备一定量的例习题，量可以较通项公式少一些；最后是将这些内容方法再进行综合，帮助学生进一步理解这些知识，掌握这些方法，并达到灵活运用的程度，此处需要配备一个有较大难度的例题和有一定思维量的类似习题. 这样复习大概需要两节课的时间.

2. 活动组织的设计要突出表征能力的训练

在课堂上，复习时有可能遇到如下尴尬：教师设计了精彩的问题，学生一片茫然，教师虽有问题铺垫，但学生还是一头雾水，启而不发，最终以教师告知（直接或变相）而结束. 这种教与学在思维上的“错位”和“别扭”在复习课中更为普遍，究其原因是教师设计的问题刚好落在学生思维或记忆的盲区，没有找到学生认知的“最近发展区”，选取的先行组织者无法激起学生的记忆，激活学生的思维，从而对知识的生成，方法的形成不能起到很好的“组织”作用. 这可能是新课上的不扎实，但更有可能是学生对知识和方法的遗忘，遗忘的最大原因是学生对知识和方法没有合理的表征，因此在复习课时更要将这种表征显性化，要形象直观，能图形化的尽量图形化，以帮助学生理解和记忆，不能将其变成只可意会不可言传的默然知识而让学生死记硬背.

等比数列中代数的对称表征和整体表征比较普遍，现举一例，以示说明.

例如，在公比q不为-1的等比数列{an}中，成等比数列学生几乎都知道，说明这部分内容的文字表征学生还可以，但问其公比是多少，学生不知所以. 很少有人能填出qn，即使填出来的也是猜的. 说明这部分的表征学生有一定困难.

如此的每n项的和合并成一项，看成一个新数列，则这个新数列的相邻两项的比都是qn，所以这个新数列的公比就是qn. 其实这n项连同加号可以看成一幅图，图的内容是上下两个项数相同、结构相似、非常对称的“大项”，由此图形的对称表征就形成了，这有利于学生从整体角度认识这一方法. 若将其总结成符号表征那就更有利于学生理解和记忆，配以文字表征，那么记忆将会更牢固. 当然要注意，最好先“图形对称”表征，再“符号表征”，最后“文字表征”，否则可能会出现不解其意的死记硬背，表现为将题目稍加变形学生就束手无策. 这也就是常说的理科内容文科学习方法，对学生的数学思维培养极为不利.

[?] 对教学活动的设计也要进行恰当的预估分析

备课时的教学活动设计往往更多地关注活动过程的设计，即先进行什么程序，紧接着再干什么工作，最后的扫尾工作应该怎么干. 很少有教师对教学活动的设计进行预估分析. 事实上，预估是对活动环节的预案和备注. 在预估设计中尽可能地站在学生角度进行思考和分析问题，预估他们会做出怎样的举动，是否会有卡壳情形，会卡在哪里. 因此，以学生的实际学情为基础、切合学生认知规律的预估才具有可操作性. 通过预估的设计能更有效地组织活动，使课堂教学更流畅，知识方法传授更到位.

以本节课来看，了解学生的学情才是进行准确预估的基础，因此高三复习可以将导学案先发给学生预习，并将学生预习的作业收起来批改，将学生预习作业中出现的问题归类整理，有条件的将这些问题展示，在展示过程中寻找问题所在，并渗透知识点和方法的复习. 本节课有四个主要考向，证明等比数列和求通项公式，等比数列的性质和等比数列的前n项和公式. 对于前两个考向的问题学生预习下来知识运用和方法选择方面的问题基本没有，就是书写格式问题. 笔者准备将学生的种种貌似规范，实质不完整的书写整理成照片通过投影仪放给学生看，其间指出学生的思维不严密之处，并同时指明所运用的知识和方法.比如证明等比数列，所用知识就是等比数列的定义，所用方法是定义法、等比中项法、通项公式判断法和前n项和公式判断法. 但后两种方法在解答题中最好也要运用定义证明，所以引出这两种方法可能会引起学生思维混乱，反而达不到预期的复习效果，所以思考再三，决定舍弃后两种方法. 对于求通项公式，除了格式外，学生另一个主要的问题是选择比较烦琐的计算方法，因此活动设计时要引出比较简单的运用整体思想解题，这样可以使学生能快速找到解题的突破口，节约宝贵的复习时间，做到低耗高效. 笔者准备实施这段活动的两个方案：方案一，从烦琐解题展示出发，然后引导学生指出其烦琐之处，最后通过性质引出简便计算方法，再用一个类似的练习题进行当堂巩固；方案二，从学生中找出简便解法（只有一个学生用简便方法做）展示给其他学生看，让其他学生总结其方法的优点，总结成文，接下来同方案一. 两个方案各有优劣，学生对知识方法的掌握在一段时间内不会有太大区别. 考虑到课堂时间的金贵，而且高三的课堂主要面对高考，所以选择第二种方案较好. 其他两个考向不再赘述. 通过预估分析以后的课堂实施就比较顺利地完成了各项活动，取得了较为满意的效果.

在教学过程中，根据预先活动预估设计，可实施对教学现场（根据学生的反应）进行不断的调控和变换教学活动组织的方式，使课堂更流畅、更顺利. 当然，课前不可能将活动的所有情形都预估到，但是只有课前充分地预估，才可能出现课上自然而然地生成.

总之，备课要充分研究复习内容的教学价值，不断提高教学设计中每个环节的教学质量，为学生实现有意义复习，夯实自己的数学基础，提升自身的数学能力提供保障.