赵畅

【摘要】 Hahn-Banach定理，作为泛函分析三大基本定理之一应用广泛.本文介绍该定理的内容，并初步探讨其推论及其在泛函的延拓的应用.

【关键词】 Hahn-Banach定理；泛函分析；延拓；应用

一、引 言

Hahn-Banach定理是泛函分析中的基本定理.它的重要性不仅作用在建立Banach空间理论体系，而且还解决许多问题.下面探讨应用到定理的实际问题.

二、 定理的介绍

定理1 设G是赋范线性空间X的线性子空间，对于G上任一有界线性泛函f，可以作出X上的有界线性泛函F，使其满足：（i）当x∈G时，F（x） = f（x）；（ii）||f||G = ||F ||.

定理2 设G是赋范线性空间X的线性子空间，P（x）是X上的拟范数，对于G上任何一个给定的线性泛函f，满足条件k = |f（x）|<∞时，f必可延拓为E上的线性泛函F，且满足|F（x）| = k.

三、定理的应用

（一） 推導定理的推论

推论1 设E是赋范线性空间，则对任何x0∈E，x0≠θ，必存在E上的有界线性泛函f，满足

（i）f（x0） = ||x0||，（ii）||f|| = 1.

证明：把定理中的G取为{θ}，有d = ρ（x0{θ}） = ||x0||，于是存在E上的有界线性泛函f满足（i），（ii）.

推论2 设E是赋范线性空间，则对于任何x0∈E，有||x0|| = |f（x0）|.

证明：设f∈E*，且||f|| = 1于是|f（x0）| ≤ ||f||·||x0|| = ||x0||，由此得到 |F（x0）| ≤ ||x0||.

另外对x0∈E，不妨设x0 ≠ θ（否则推论显然成立），根据推论1，存在着f1∈E*，||f1|| = 1，并且f1（x0） = ||x0||，有|f（x0）| ≥ ||x0||. 结论得证.

（二）解决延拓问题

延拓问题是研究定义在给定集X的一个子集A上的某数学对象能否扩充到整个集X上，并保持对象的基本性质.Hahn-Banach泛函延拓定理保证赋范线性空间上具有充分多有界线性泛函及线性泛函的取值可先指定，且为共轭空间提供必需理论.

例1 设X为赋范线性空间，x，y∈X.若？坌f∈X*，恒有f（x） = f（y），证明x = y.

证明 用反证法.设x ≠ y，则x - y ≠ θ，依据定理，必存在f∈X*，使得f（x - y） = ||x - y|| ≠ 0，从而f（x） ≠ f（y），与题设矛盾.故必有x = y.

例2 P是定义在赋范线性空间X上的一个次线性泛函，证明：X上存……