须勤

摘 要：发展学生的数学符号意识是《义务教育课程标准》（2011版）提出的数学课程目标之一。围绕数学符号意识这一主题，国内外很多学者在其内涵理解、关于其在教与学的过程中存在的问题以及培养策略等方面已经进行了探索，并取得了不少研究成果。笔者对此进行梳理、分析与总结，并提出了进一步的思考。

关键词：数学思考；符号意识；内涵理解；培养策略

一、研究背景

“符号”一词起源于希腊，英文译名为“symbol”。著名数学家罗素【英】说：“数学就是符号加逻辑。”数学符号是一种特定的、精炼的、专用的数学语言，是数学抽象思维的产物，又是人们在解决数学问题时进行表示、推理、计算的工具，数学思维活动以此为载体。狭义上的数学符号，以人们约定俗成的方式存在，如规定加法用“+”表示，减法用“-”表示。广义上的数学符号，是指表示数量之间的规律及其关系的所有符号，可以用来描述数学对象，如数学用语、公式、图表、数字等。经历了数千年历史的积淀与完善，数学符号展现着独特的魅力，成为通用的科学语言。它不同于汉语、英语、德语等一般的语言，它突破文化和地域的界限，成为一种国际化的规范语言。它是人类智慧的产物，促进数学的发展与进步。

学生对数学符号的把握对其数学的学习有着直接的影响。自从2001年《义务教育数学课程标准》（实验稿）中将“符号感”作为核心概念提出以来，对于数学“符号感”的研究就成为一个比较活跃的领域。在之后的新一轮课程改革中，数学符号受到了人们前所未有的关注。在《义务教育数学课程标准》（2011版）中，“符号感”一词更名为“符号意识”。因此，发展学生的符号意识成为我国义务教育阶段数学教学的重要任务。孩子自从学习算术开始，就与符号有了接触，上了小学之后，对数学符号的接触就更多。数学教学的目的之一就是要让学生知道并理解数学符号的意义，能运用数学符号解决一些数学问题和实际问题，发展学生的符号意识。事实上，一些发达国家及地区很早就认识到符号意识对于学生数学学习的重要性，如《美国学校数学教育的原则和标准》明确提出了发展学生符号意识的要求。还有我国的特别行政区——香港的数学课程标准也指出，要发展并培养学生的符号意识。鉴于此，国内外很多学者和一线教师在数学符号意识的内涵理解、对其在教与学方面存在的问题以及培养策略等方面做了一定的研究与探索。本文对关于数学符号意识已取得的研究成果进行了梳理、分析与总结，为后续研究做准备。

二、关于符号意识内涵理解的研究

对于符号意识，目前还没有一个清晰、明确的定义。国外的很多学者从数学符号的特征和表现形式进行描述，更倾向于认为其是一种能力的体现。Fey（1990）对符号感的阐述比较系统，他认为符号感的表现形式多种多样，它总是和数感、函数感和图像感等相互联系，但他认为符号意识也是一种能力。Kinzel认为符号感就是“在具体情境中，能创造出准确的代表数量关系的代数表达式，是符号解释和符号操作的结合体，是一种能力”。Nurit Zehavi认为“在解决问题的过程中，符号感通常和数感、图表感、函数感等联系紧密并交织出现”，因此要给它下定义，非常困难。Abraham Arcavi 认为符号意识不仅是一种能力，也是一种思维活动，是对符号的一种直觉，一种理解以及运用。他试图详细具体地罗列符号感的表现特征，并对其进行分类，但仍然认为其完善度不够。

在我国，“符号意识”是数学课标中的一个重要概念。早在2001年《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）中，首次将“符号感”作为一个核心概念提出，认为符号感是“人对符号的意义、作用的理解以及主动地使用符号的一种习惯和意识”。之后学者们都是在此基础上对其进行理解。如史炳星等对符号感的理解与其一致，他们强调学习数学符号重要的一步是用字母表示数，认为理解用字母表示数对于发展学生的数学符号意识是有帮助的。也有学者认为符号感就是一种对符号的直接感受和感悟。如王兄从表象图式的角度来理解符号感，认为其是指对符号的感受和领悟能力。有些学者认为符号感的提法不够恰当，对此存在争议。何小亚在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）刍议》一文中认为是翻译的误差，主张符号感的提法值得商榷。郑毓信的观点与其一致，认为符号意识不是简单地对符号的某种感觉、感悟能力达到的水平，更是一种心理活动和数学意识。这种符号意识与数感及数学模型联系紧密，是对数学语言的一种综合运用，不能简单地归结为对符号的直观感觉，即符号感的问题。经过10年的课程改革，《义务教育数学课程标准》（2011版）在经验总结中不断反思，最终将“符号感”一词改为“符号意识”。之后，关于符号意识的理解基本都以此为参照，与其表现一致，很少再有争议。

纵观以上国内外学者们对符号意识内涵的理解，他们都认为符号意识是一种自觉主动地理解和运用数学符号的态度和能力。他们对此各抒己见，但更倾向于是对数学符号的特征及表现形式的描述，而并非其真正内涵。因此，符号意识的真正内涵是什么，值得我们进一步地思考。

三、关于符号意识教与学的经验性研究

这些年来，一线的数学教师、研究人员及学者，对数学符号意识的教与学进行了相关的调查研究与分析总结，同时借鉴吸收了一些教育学、心理学中关于知识获得的认识，两者结合，提升成为数学符号意识教学的依据，为学生“怎样学”，教师“如何教”，提供了指导。但没有说为何要这样做，其本质是认识论的、经验式的。这些在实践中得到的规律，对数学符号意识的教学有着指导性的意义。

（一）关于学生对数学符号学习的研究

学生在数学符号学习的过程中，往往会出现各种类型的错误。国外的不少学者从认知、教学、解题等方面对其进行了深入研究。Davis提出了学生“二重返回”的错误规律，比如学生出现“3×3=6”的错误，是因为与最初的加法法则相混淆而导致的。然而，上述错误也可以认为是对于数学符号理解上的偏差所致的。乘法符号“×”和加法符号“+”在外表形式上类似，对学生的理解产生了干扰。事实上，学生所存在的一些问题都是源于某些“干扰”，有其他语言形式的干扰、其他学科表述的干扰以及学生生活经验的干扰等。