张杏宇

摘 要：导数与函数的身影，考查函数的单调性、极值、最值，求曲线的切线。

关键词：导数；单调性；极值；最值；切线；应用

在最近几年的高考中，导数与函数的身影频现。以导数为工具，以函数为载体，考查函数的单调性、极值、最值等性质及其应用为目标，是最近几年函数与导数综合应用试题的特点和命题趋向。导数在高考中常见的内容和题型是简单的函数求导和利用导数求曲线的切线，利用导数求函数的单调区间，应用导数求函数在区间上的最值和极值，借助函数图像的研究，来考查学生分析问题、解决问题的能力，数形结合的思想，利用导数求解实际问题等。“导数法”现在已然成为高中数学研究函数的一个重要方式，函数问题涵盖了高中数学很多的考点和思想方法。

一、用导数求函数的切线

例1.求曲线y=x3-3x2-2x，在点（-1，-2）处的切线方程。

分析：根据导数的几何意义来进行求解。

解：y'=3x2-6x-2，当x=-1时y'=7，即所求切线的斜率为7。故所求切线的方程为y+2=7（x+1），即为：y=7x+5

思维点拨：函数y=f（x）在点x0处导数就是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率。即曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率为f'（x0），故所求的切线方程为y-y0=f'（x0）（x-x0）。另外，注意，如果把“在”改成“过”，问题就不一样了，在点P（x0，f（x0））处的切线是指以点P为切点，最多只有一条；而过点P（x0，f（x0））处的切线，并不一定是以P为切点的，要先设切点Q（x1，f（x1）），用点Q的坐标先表示出切线的方程，最后把P点的坐标代入，求解出Q点的坐标才可以。

二、用导数判断和证明函数的单调性

例2.求函数y=x3-3x2-2的单调区间。

分析：求出导函数y'，令y'>0或y'<0，解出x的取值范围即可。

解：y'=3x2-6x，令y'>0得3x2-6x>0，得x<0或x>2，由y'<0得3x2-6x<0，解得0

所有函数的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞），单调减区间为（0，2）。