郑华盛

(南昌航空大学数学与信息科学学院，南昌330063)

一类函数零点问题的推广

郑华盛

(南昌航空大学数学与信息科学学院，南昌330063)

[摘要]通过对几道关于函数在满足一类特定的积分等式条件下的零点存在性典型证明题进行观察和深入地分析，提出了一类具有普适性的命题，并给予证明和推广.

[关键词]函数零点; 函数线性无关; 定积分; 等式; 推广

有关函数的零点存在性问题是微积分学中的一类值得探究的问题.文[1-6]中分别给出了几道满足一类特定积分等式条件的函数零点存在性的典型证明题：

(i) 设函数f(x)在[a，b]上连续，且

证明至少存在两个不同的点ξ1，ξ2∈(a，b)，使

f(ξ1)=f(ξ2)=0，

即f(x)在(a，b)内至少有两个零点.

(ii) 设函数f(x)在[a，b]上连续，且

证明f(x)在(a，b)内至少有两个零点.

(iii) 设函数f(x)在[0，π]上连续，且

证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

(iv) 设函数f(x)在[a，b]上连续，g(x)在[a，b]上有一阶连续导数，且g′(x)≠0，

证明至少存在两个不同的点ξ1，ξ2∈(a，b)，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

(v) 设函数f(x)在[0，π]上连续，且

证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

(vi) 设函数f(x)在[a，b]上连续，且

证明f(x)在(a，b)内至少有n+1个零点.

(vii) 设函数f(x)在[a，b]上连续，且

证明f(x)在(a，b)内有无穷多个零点.

那么，能否由上述几个证明题得到一般性的结论？

1预备知识

下面，先给出函数线性无关的定义：

定义1[7]设有定义在区间I上的n个函数fi(x) (i=1，2，…，n)，若存在n个不全为零的常数ki(i=1，2，…，n)，使得当x∈I时

恒成立，则称n个函数f1(x)，f2(x)，…，fn(x)在区间I上线性相关；否则称为线性无关.

通过对上述几个实例的观察，注意到它们的被积函数中所含1，x及1，ex在(a，b)上是线性无关的，1，cosx及sinx，cosx在(0，π)上是线性无关的，1，x，x2，…，xn在(a，b)上是线性无关的. 能否以此为主线，归纳出一般性命题？……