潘　勇，　魏俊潮

(1.扬州职业大学数学科学学院，江苏扬州225009；　2.扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002)

CN环的若干等价刻划

潘勇1，魏俊潮2

(1.扬州职业大学数学科学学院，江苏扬州225009；2.扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002)

[摘要]引入环的补左零化子集的概念，给出了CN环几个新的等价刻划.

[关键词]CN环； 幂零元； 补左零化子集

1引言

如果环R的每个幂零元素均为中心元,则称R为CN环[1].显然,交换环和约化环(即R没有非零的幂零元素)都是CN环.文献[2]中给出了CN环几个等价刻划：

(i)R为CN环当且仅当对任意a∈N(R)，存在整数n=n(a)≥2使得a-an∈Z(R)；

(ii)R为CN环当且仅当对任意的x∈N(R),y∈R，有

((1+x)y)n+k=(1+x)n+kyn+k，k=0,1,2；

(iii)R为CN环当且仅当对任意的x∈N(R),y∈R，有

((1+x)y)n+k=yn+k(1+x)n+k，k=0,1,2.

本文引入补左零化子集的概念，对文献[2]给出的CN环几个等价刻划作了改进，给出了条件更一般的等价刻划.

2基础知识

本文中R表示有单位元的结合环.N(R)，Z(R)，J(R)，Zr(R)，Zl(R)分别表示环R的幂零元集合、中心、Jacobson根和左、右奇异理想；Z[x]表示整系数多项式环；l(a),r(a)分别表示a在环R中的左、右零化子；相关概念参见[3].

首先给出几个引理：

引理2.1设R是一个环，f(x)∈Z[x]，且f(x)常数项为零，则对任意的a∈N(R)，有

f(a)∈N(R)，且af(a)=f(a)a.

引理2.2[4]设R是一个环，对任意的x∈R，若l(x)=0,则

l(x2)=l(x3)=…=l(xn),

其中n为正整数.

引理2.3[5]设R是一个环，n为正整数，x,y∈R, 若xyn=0=x(1+y)n，则x=0.

3主要结论

先给出[2，定理2.1]一个推广：

定理3.1R为CN环当且仅当对任意a∈N(R)，存在整数n=n(a)≥2，使得

a-(f(a))n∈Z(R)，

其中f(x)∈Z[x]，且f(x)常数项为零.

证显然.

⟸设f(x)∈Z[x]，且f(x)常数项为零.不妨设f(x)=xf0(x)，且f0(x)∈Z[x].

任取a∈N(R)，存在m>0,使得am=0.由题设可知：存在n1=n(a)≥2，使得

a-(f(a))n1∈Z(R)，

由引理2.1可知

(f(a))n1=an1(f0(a))n1∈N(R),

则有

(f(a))n1=an1a1∈N(R)，

其中a1=(f0(a))n1，且an1a1=a1an1.

同样由题设可知：存在n2=n(an1a1)≥2，使得

an1a1-(f(an1a1))n2∈Z(R),

由引理2.1可知

则有

(f(an1a1))n2=an1n2a2∈N(R)，

以此类推，存在ns=n(an1n2…ns-1as-1)≥2，使得

an1n2…ns-1as-1-(f(an1n2…ns-1a1))ns∈Z(R)，

且

n1n2…ns>m，(f(an1n2…ns-1a1))ns=an1n2…nsas=0，

利用补左零化子集，下面给出[2，定理2.4]的推广：……