贾小丽

“变教为学”的课堂中，学生的错误屡见不鲜。为了将学生出现的错误转变为教学资源，就需要对造成学生发生错误的心理方面的原因有所了解。进而可以有效地诊断学生在学习中的困难，并进一步有针对性地帮助学生学习。个体心理异常复杂，可以概括为认知、情感、能力和人格。造成学生出现错误的原因也多种多样，下面主要从“认知”方面的注意、记忆、思维和情感方面举例说明。

一、注意的转移能力差

注意转移是个体根据新的任务，主动地将注意从一个对象过渡到另一个对象上。小学生由于注意转移能力较差，所以会出现许多错误。如在接近整十、整百数的加减法的练习题16+99、35+198、74+297中夹一道68+101，学生就会计算成68+101=68+100-1，原因是其注意力还停留在一个数加上一个小于整百的数，未能将其转移到一个数加上一个大于整百的数，因此在计算68+101时加上了一个整百数，又减去一个数。给学生布置如图1[1]的任务，输入部分（in）加上7即为输出部分（out），前两道题31+7=38、20+7=27，第三道题学生依旧得出79+7=86，注意力还停留在加7上，未能将其过渡到减7，因而得到一个错误的结果。

图1

在乘除法计算中由于学生注意未能及时转移也会出现错误，如图2案例中乘法口诀“四八三十二”最后的“二”被错误地当成下一步的进位数字了，这句话最后的发音是乘积的个位数字“二”，学生的注意力集中在“2”上，未能集中在“3”上，所以就不自觉地把数字“2”用到下面的计算中，在图3案例中也是类似的错误。一个数的千分位上是6，十分位上是4，百位上是3，其余各位都是0，这个数是几？学生的答案为0.436，错误的原因是前面为千分位、十分位，把随后的百位也看成了百分位，所以认为百分位上是3。此外，在应用题中也存在这样的问题，如图4，学生在回答第二个问题时，错误地使用了第一个问题的答案，学生对“车上有多少人”的判断还停留在第一个问题上，认为现在车上有57人，又上来9人，直接得出57+9=66。

图2                             图3

图4

由注意的转移能力差引起的错误和心理学中“perseveration”（持续重复某一动作或言语的行为）有着密切联系，已经说出的成分或已经进行的行为会取代或干扰将要进行的行为，使将要进行的行为出现错误。美国学者Percival M.Symonds认为人们行为的特点“perseveration”，可以解释许多错误，如24×8得到的结果为182，由于4×8=32，其中持续重复“2”这一声音，取代了“3”，从而和2×8=16结合起来，得到16+2=18这样错误的答案，[2]这和图2的案例颇为相似。德国学者Pippig认为9×60=560，5×13=63，41+7=47这样的错误也是由“perseveration”引起的。[3]

二、工作记忆的有限性

人的认知结构由工作记忆（working memory）和长时记忆（long-term memory）组成，长时记忆的容量几乎是无限的，而工作记忆的容量是有限的。由于工作记忆的有限性，当学习内容对工作记忆要求越高，错误发生的可能性就越高。有关工作记忆与数学错误的早期研究来自Hitch的实验，他发现如果解题者在心算时忘记了初始信息或中间步骤，结果就会产生计算错误。[4]因此，错误是由于与问题有关的信息在记忆中产生衰退造成的。

在列式计算“602-436=？”时，学生得出错误答案266，主要是因为学生不仅要考虑每个数位上的数对应相减，还要考虑借位。在被减数个位和十位连续两次借位后，往往在百位上用6和4直接相减，从而得到结果为266。学生并不是不知道算法规则，而是由于在计算中因素考虑比较多，产生认知负荷超载，对工作记忆的要求高，因此使得错误产生;在加法中也会有类似的错误，如计算358+143的结果为401，学生只记得十位上加一，忘了百位上也要加一;在多位数乘法计算中，还会出现这样的错误，如图5学生在计算546乘8时，把个位数字6和十位数字4分别和8相乘后，忽视了百位数字5和8的计算;在学习除法竖式计算时，只顾及试商而未顾及观察余数是否比除数小，从而造成商的位数增多。另外，在四则混合运算中，注意了括号内的运算顺序，而不注意括号外的运算顺序;在关于比较的应用题中有两种类型，第一种类型为“甲有a个，乙比甲多（少）b个或乙是甲的c倍，问乙是多少”，第二种类型为“甲有a个，比乙多（少）b个或是乙的c倍，问乙是多少”。学生在解决第二种类型的题时会遇到困难，产生错误。如图6，此题期望学生用加法“1.24+0.12=1.36”计算，可学生偏偏列出减法算式“1.24-0.12=1.12”。这一结果可以用工作记忆负荷来解释，与第一种类型题相比，儿童必须对第二类型题中的关系陈述进行转化，加重了工作记忆负荷，因而导致错误的发生。

图6

法国克莱蒙费朗第二大学心理学教授Michel Fayol曾对简单的应用问题进行研究发现：文本的不同组织方式将使学生成绩产生显著差异。例如，改变应用题的表达顺序导致更多的错误和较低的成绩，他认为特定的文本结构使问题解决者产生超负荷的工作记忆从而引起错误的增多。[5]此外，研究者Inez E.Berends对应用题有无插图对学生成绩的影响进行了研究，他认为儿童需要在插图信息和文本信息之间进行注意转换，整合插图信息和文本信息也会造成工作记忆的负荷。[6]因此，有插图的应用题对问题解决者可能会产生较高的认知负荷，影响学生问题解答的准确率，当然这只是可能并非一定。

三、思维定势的消极影响

思维定势（mind-set）就是按照积累的思维活动经验和已有的思维规律，在反复使用中所形成的比较稳定的、定型化了的思维路线、方式、程序、模式，在感性认识阶段也称作“刻板印象”。思维定势对学生的数学学习有积极的一面，但也有消极的一面。以下从顺序性心理、停留心理和负迁移三个方面分析由思维定势带来的一些错误。

（一）顺序性心理

根据信息加工理论的观点，学习过程分为注意、编码、储存和提取等几个心理过程。而信息的储存需要进行编码，编码的基本要求是信息顺序化。学生在解决数学问题时，常常由于顺序心理导致错误，究其原因，是因为学生头脑中不但存在着和问题密切相关的旧知识，而且还存在着一些固有顺序，形成了一系列的顺序心理，从而一些逆序性的变化就遭到原有顺序心理的抗拒。[7]如在学习分数的初步认识时，一些学生常常把二分之一写成“”，这和学生头脑中原有的 “从上到下”的顺序有关，在读到“二”时把相应的“2”写在分数线的上面，读到“一”时把相应的“1”写在分数线的下面;还有一种常见的题：湖面上有一些天鹅，飞走了5只，还剩23只，问湖面上原来有多少只天鹅？本题期望学生用加法“5+23=28”，可许多学生偏偏列出减法算式“28-5=23”，当然这并不能说是错误，但从中折射出一些问题，学生头脑中的阅读顺序是“从左到右”，因此列式时也按照“从左到右”的顺序。

（二）停留心理

停留心理是当概念扩展，学生的思维产生惰性，仍然停留在原来的地方，[8]这种心理实质是由学生先前的学习对后继学习的影响而产生的，是思维定势消极性的表现。南京师范大学李善良教授在让300名六年级小学生判断“2个数的积与这2个数的差（0除外）在任何情况下都不会相等”时，只有41人（14%）给出正确答案，[9]原因是学生的思维停留在自然数中，没有考虑到分数、小数，李善良将其称为思维“恋旧”。与之类似的有许多，如用“5，5，5，1”四张牌算出24，学生经过反复尝试，找不到算法，原因也是学生习惯的思维方式是“整数的运算”，而不习惯“分数的运算”，这道题可以把5看作25个，可以得（5-1÷5）×5=24。这类错误产生的原因是学生试图在过于限制的领域内建立联系。

（三）负迁移

学习迁移是指一种学习影响另一种学习，也是指学得的经验运用到新的情境中去。如果一种学习对另一种学习起到干扰或抑制作用，这就是负迁移。负迁移引起的错误也是思维定势副作用的表现，常发生在具有“共同因素”的数学学习上。当新旧知识结构十分相似（但实质不同）而要求做出不同反应时，学生习惯于已有的旧知识，总希望将新知识纳到旧知识的经验系统中去，这样就容易产生负迁移。

在小数的学习中，由于小数与整数“形似”，学生便会把整数的学习方法迁移到小数中，从而出现许多错误：如将整数读法迁移到小数读法中，把65.65读作“六十五点六十五”;在小数加减法中，会把两个数的末尾数字对齐，这是受整数加减法“把末尾对齐”的影响。另外，受整数计算的影响，学生往往会在计算结果里漏掉点小数点和用零补足数位，如图7;在小数除法中，把56÷0.1计算成5.6，学生在之前的整数学习中，除以一个数计算结果就是缩小，而相应的乘一个数就扩大。学生把这个结论迁移到小数中，但它对于小数不完全成立，小数中存在小于1的数，一个数除以小于1的数，商是扩大的，而乘一个小于1的数，积则是缩小的。

图7

四、喜欢简便计算

情感在认知的基础上产生，又对认知产生巨大的影响，成为调节和控制认知活动的一种内在因素。学生产生错误除了有认知方面的不足，还存在情感方面的原因。意大利学者Giorgio T.Bagni对学生错误原因的分析比较注重心理方面的情感因素，认为学生出现错误主要有以下两个方面：首先，学生喜欢简单的、容易的和著名的方法、思想;其次，学生害怕困难的东西，害怕题目无解。[10]正因为在计算过程中，学生喜欢用简单、容易的方法很快算出结果，因此常常盲目地凑整，从而忽略运算顺序、计算法则等规定，这类错误具有一定的普遍性，存在于整数、分数、小数计算中。图8中学生看到235和65可以凑成整数“300”，便不顾运算先后顺序，先计算两者之和;图9中学生看到3和2可以凑成整数“6”，就急于把这两个数加起来;图10学生看到0.25乘4可以凑成整数“1”，变得比较兴奋，就把这两个数先结合起来。

图8

图9

图10

相对于喜欢简便计算，学生害怕一些困难的东西，因此当遇到计算题中的数据较大、算式较为陌生、算式的外形过于繁杂时，就会产生排斥、厌恶心理，从而不能耐心审题、认真分析，不能选择合理的算法，在这样一种怕难怕繁的心态下进行计算，错误率就会大大提升。

学生出现的错误形形色色，造成错误的原因也千差万别，以上造成学生出现错误的心理原因并非孤立存在的，而是互相影响、互相联系的。犯错误是人类的天性，只有通过错误，人们才会不断成长，并从中收获智慧。“变教为学”需要教师认真对待学生的错误，切不可把错误笼统地归为“马虎、粗心大意”，任何真正的认识都是以主体已有的知识和经验为基础的主动建构，因此，尽管相应思想可能是错误的或幼稚的，但却仍有一定的合理性，教师不应对此采取简单否定的态度，而应从本质上分析错误产生的原因，并对其加以合理利用。显然，也只有这样，教师才可能采取适当的补救措施实现“变教为学”中的“助学”。

参考文献：

[1] Hendrik Radatz. Error Analysis in Mathematics Education[J]. Journal for Research in Mathematics Education，1979，10（3）：168.

[2] Percival M.Symonds. The Psychology of Errors in Algebra[J]. The Mathematics teacher，1922，15（2）：101.

[3] Hendrik Radatz. Error Analysis in Mathematics Education [J]. Journal for Research in Mathematics Education，1979，10（3）：167.

[4] Hitch GJ. The role of short-term working memory in mental arithmetic[J]. Cognitive Psychology，1978，10：302-323.

[5] Michel Fayol， Abdi，Gombert. Arithmetic Problems Formulation and Working Memory Load[J]. Cognition and Instruction，1987，4（3）：187-202.

[6] Inez E.Berends.Van lieshout. The Effect of Illustrations in Arithmetic Problem-Solving：Effects of Increased Cognitive Load[J]. Learning and Instruction，2009，19：345-353.

[7] 杨军，楼志权. 高中生经典数学错误的心理分析及对策[J]. 新疆师范大学学报（自然科学版），2007，26（3）.

[8] 付海伦. 数学语言学习中的心理性错误分析[J]. 数学通报，1996，（12）.

[9] 李善良. 数学概念学习中的错误分析[J]. 数学教育学报，2002，11（3）.

[10] Giorgio T. Bagni. An Investigation of some Misconceptions in High School Students' Mistakes Learning in Mathematics and Science and Educational Technology [M]. Cyprus Nicosia： Inter-college Press，2001.

（首都师范大学初等教育学院  100048）