顾岩

摘 要： “单摆”是高中阶段的重要理想化模型，也是简谐运动知识应用的重要载体，知识传授过程中蕴含着较多的物理学研究方法和数学处理技巧。课堂教学过程中采用寻常而又不寻常的“问题导学”方式，一方面紧紧抓住了学生的“心”，让学生从学习过程的“辛”转变为发现学习过程的“新”，另一方面也为实现“高效课堂”做出了有益的尝试。

关键词：单摆；简谐运动：问题导学；高效课堂

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）7（S）-0067-6

前言：在《单摆》的公开教学活动中，笔者发现多数教师通常是按照介绍单摆模型，证明其为简谐运动，探讨影响单摆周期的因素作为新课的教学内容。虽无可厚非，但着实降低了教学时间的利用率。笔者从学情出发，在公开教学活动中采取了以“证明单摆的运动为简谐运动”、“定性找出影响单摆周期的因素”和”定量探究单摆周期T与摆长l的关系”为三核心的教学内容，让学生“获新”的同时，也让教师“可品”。现将课堂实录奉上，以期各位专家、老师评鉴。

教学过程

核心一：证明单摆的运动是简谐运动

[教师]：上课，同学们好！

[学生]：老师好！

[教师]：请坐！前面大家学习了简谐运动的相关知识，现在请同学们思考：怎样判断一个机械振动是不是简谐运动？（投影问题）

[学生1]：看它的x满不满足A乘以sin（ωt+φ）或A乘以cos（ωt+φ）。

[学生2]：振动图像（x-t）是否为正（余）弦曲线。

[教师]：还有其他方法吗？

[学生3]：回复力是否满足回=-k。

[教师]：很好，请坐！我们可以从运动学和动力学两个角度进行判断。

[教师]：简谐运动中的位移是怎样定义的？

[学生]：简谐运动中的位移总是由平衡位置指向振动物体所处的位置。

[设计意图]：通过对知识的复习，为证明单摆的运动是简谐运动提供理论依据。

[教师]：请大家看大屏幕（播放视频）……在杂技“空中飞人”（图1）中，悬挂的摆动装置的运用无疑令表演的过程充满了惊险性与刺激性，在生活中，有没有与杂技中相类似的摆动装置呢？

[学生]：秋千（多数同学齐声回答）、钟摆（少数学生回答）。

[教师]：（投影秋千图片，图2），实际摆动装置的结构是相对复杂的，不利于我们进行问题的研究，我们需要对其结构进行理想化处理。

[教师]：从质量方面看：秋千绳的质量要比摆动物体的质量大还是小？

[学生]：小（齐声回答）。

[教师]：是小得多？还是小一点点？

[学生]：小得多（齐声回答）。

[教师]：从线度方面看：摆动物体自身的尺寸要比秋千绳的长度长还是短？

[学生]：短（齐声回答）。

[教师]：短得多？还是短一点点？

[学生]：短得多（齐声回答）。

[教师]：从形变量方面看：绳的伸长量需要考虑么？

[学生]：不需要（齐声回答）。

[教师]：从受力方面看：摆动过程中物体受到的阻力要考虑么？

[学生]：不需要（齐声回答）。

[教师]：（投影单摆模型）在物理中，细线的上端固定，下端系一小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比可以忽略，细线的伸长量可以忽略，空气等阻力与小球受到的重力及绳的拉力相比可以忽略，这样的装置就叫做单摆。

[板书]：1.单摆——理想化模型

m线<

细线的形变量可忽略；

空气等阻力可忽略。

[教师]：我们定义悬挂点到球心的距离叫做摆长，符号l。单摆静止时，重力和细线的拉力相等，此位置为平衡位置。

[设计意图]：通过观察生活中的摆动装置结构之“难”，从而激发学生求摆动装置结构之“易”的想法，通过教师引导，学生自然的构建起单摆的理想化模型。

[教师]：（播放弹簧振子运动的视频，图3）前面我们学习过的弹簧振子的运动是机械振动，特征是物体在平衡位置附近做往复性运动，那单摆的运动是机械振动么？即，摆球是否在平衡位置附近做往复性的运动（图3）？

[学生]：是（齐声回答）。

[教师]：弹簧振子运动过程中系统机械能守恒，那单摆运动过程中机械能守恒么？

[学生]：守恒（齐声回答）。

[教师]：弹簧振子运动是简谐运动，那单摆的运动是简谐运动么？

[学生]：是（部分学生齐声回答），不是（个别学生回答）。

[教师]：我们可以从回复力的角度来分析这一问题。下面我们对单摆运动过程中的某个位置P进行受力分析，在P点，摆球受到重力mg和绳的拉力F′（图4）。

[教师]：观察单摆的运动轨迹，单摆做的是什么运动？

[学生]：曲线运动（齐声回答）。

[教师]：确切的讲，是什么样的曲线运动？

[学生]：是圆周运动（齐声回答）。

[教师]：由于机械能守恒，摆球向平衡位置运动的过程中，重力势能减小，动能增大；摆球远离平衡位置的过程，动能减小，重力势能增加。因此，摆球的运动是变速圆周运动的一部分，处理变速圆周运动问题时，通常从两个方向上去分析，是哪两个方向？

[学生]：切线方向和法线方向（齐声回答）。

[教师]：从受力分析图上可以看出重力既不在切线方向也不在法线方向，需将重力沿着切线方向和法线方向分解（出示受力分析后的分解示意图，角度适当大些，为后面的小角度过渡做铺垫），从作用效果上看，哪个方向上的力具有促使摆球回到平衡位置的效果呢？

[学生]：切线方向的力F（齐声回答）。

[教师]：从作用效果上看，法线方向的力改变速度的方向，对摆球运动速度的大小及速度向左还是向右都没有影响，切线方向的力促使摆球回到平衡位置。当摆球在平衡位置右方时，其指向左侧，当摆球在平衡位置左方时，其指向右侧，因此切线方向的力是摆球来回摆动的回复力，若图上已知摆球质量m和摆角θ，那么回复力的表达式为F等于什么？

[学生]：F=mgsinθ（齐声回答）。

[设计意图]：通过对比，使学生发现单摆的运动与弹簧振子的运动有诸多相似性，从而引导学生找到单摆的回复力以及表达式。

[教师]：虽然我们已经找到了回复力的表达式，但是该表达式并不满足简谐运动的动力学方程的形式。下面，请观察屏幕上表格中的数据 （出示表格数据）：随着角度的增大，该角度的正弦sinθ和该角度的弧度θ在数值上越来越接近还是相差得越来越大（表1）？

[教师]：当角度小于5°时，我们可以认为正弦sinθ的值与其弧度θ的值近似相等，即sinθ≈θ。

[设计意图]：通过数据与图示的直观呈现，引导学生发现小角度下的近似相等关系，进而引导学生证明回复力大小与位移大小的定量关系。

[教师]：下面我们观察回复力的方向与摆球相对平衡位置的位移的方向关系（图6），以平衡位置建立水平向右的x轴（投影图示），在平衡位置左侧时，小角度情况下，二者方向相反么？

[学生]：相反（齐声回答）。

[教师]：在平衡位置右侧，小角度情况下，二者方向相反么？

[学生]：相反（齐声回答）。

[板书]：3.单摆的回复力

[设计意图]：通过图例的展现，引导学生发现单摆的回复力方向与摆球相对平衡位置的位移方向存在自然的相反关系，从而证明单摆的运动在小角度情况下为简谐运动。

核心二：定性找出影响单摆周期的因素

[教师]：请大家看大屏幕（播放视频）……视频中唯美的摆动景象产生的原因是什么（图7）？

[学生]：周期不同（多数学生齐声回答）。

[教师]：是由于各个单摆运动的周期不同导致的，那么单摆的振动周期可能跟什么因素有关呢？你可以猜想一下么？

[学生1]：与摆长有关，因为视频中的摆长从里到外是依次增大的（教师给予鼓励）。

[学生2]：从结构上看，还可能与摆球的质量有关，因为质量大的回复力大，摆球运动得可能快一些（教师给予鼓励）。

[学生3]：还可能与摆球的振幅有关，因为振幅大了，摆球运动的弧长会长一些，摆球运动的时间可能要长一些（教师给予鼓励）。

[学生4]：从单摆的回复力公式推断，可能还与重力加速度有关，因为在其他条件都一样的情况下，重力加速度大的话，回复力也大，有可能运动得快一些（教师给予鼓励）。

[教师]：由于影响因素较多，要想研究单摆周期与多个因素间的关系，我们应采用怎样的研究方法呢？

[学生]：控制变量法（齐声回答）。

[教师]：若想研究振幅是否对单摆的周期有影响，应该保证哪些条件不变？

[学生]：应该保证摆球质量、摆长以及位置不变（齐声回答）。

[教师]：这是两个摆长、摆球质量均相同的单摆，将它们拉到不同的高度释放，请大家观察两个摆球是否同时经过平衡位置。

[学生活动]：观察。

[教师]：两个摆球是否同时经过平衡位置？

[学生]：是的（齐声回答）。

[教师]：这表明，振动的幅度是否影响单摆运动的周期？

[学生]：不影响（齐声回答）。

[教师]：单摆周期与摆球振幅无关的性质，称为单摆的等时性，它是由伽利略最早发现的，机械摆钟的工作中利用了这一性质。

[教师]：这是两个摆长相同、摆球质量不同的单摆，将它们拉到相同的高度释放，请大家观察两个摆球是否同时经过平衡位置。

[学生活动]：观察。

[教师]：两个摆球是否同时经过平衡位置？

[学生]：是的（齐声回答）。

[教师]：这表明，摆球的质量是否影响单摆运动的周期？

[学生]：不影响（齐声回答）。

[教师]：这是两个摆球质量相同，摆长不同的单摆，将它们拉到相同的振幅释放，请大家观察两个摆球是否同时经过平衡位置。

[学生活动]：观察。

[教师]：两个摆球是否同时经过平衡位置？

[学生]：不是（齐声回答）。

[教师]：这表明，摆长是否影响单摆运动的周期？

[学生]：影响（齐声回答）。

[教师]：从现象上看，摆长长的单摆的摆动得快还是慢？

[学生]：慢（齐声回答）。

[教师]：这表明，摆长长的单摆的周期大还是小？

[学生]：大（齐声回答）。

[教师]：怎样改变重力加速度进行对比实验呢？这个问题留给同学们回去思考，本节课暂不说明这个问题。

[设计意图]：借助唯美摆动视频的播放，激发学生的热情，通过教师引导，使学生找到影响单摆周期的因素。

核心三：定量探究单摆周期T与摆长l的关系

[教师]：下面，我们通过实验定量的探究单摆的简谐运动周期与摆长的关系，这需要同学们搜集实验数据，请看屏幕上的分组情况（投影分组表格）。

[教师]：实验过程分为四个主要过程：（一）测摆长，（二）保证单摆小角度摆动，（三）测周期，（四）数据处理。过程中需要每组的同学合作完成。

[教师]：测摆长时，各组按照表格中的要求，在所给摆长范围内任意测取一个值即可。测摆长时将单摆伸出桌面，一位同学将刻度尺的零刻度线与悬点持平，保持尺与摆线平行，另一位同学正对刻度尺读数，将测量的摆长数据记录下来。

[教师]：单摆运动过程中角度本应小于5°，为摆动明显，可放宽至10弧度，由此所允许拉离相对平衡位置的最大位移的大小同学们可以根据圆心角、半径、弧长三者的关系式进行估算。10弧度近似等于0.17453，举例说明，例如：摆长为20cm，则可估算出其所允许拉离相对平衡位置的最大位移的大小为3.5cm左右。要注意摆球的运动过程要尽量保证在竖直面内摆动，不要形成圆锥摆。

[教师]：释放摆球后，待摆动几次稳定后再进行计时。可以将平衡位置作为计时起点，当摆球向右经过平衡位置时，数0；再次向右经过平衡位置时，数1，依此类推，当数到30时，立即停止计时，记录总时间并求出周期。

[教师]：为什么我们要记录30次的全振动周期，为什么不只记录1次全振动周期？

[学生]：误差大（齐声回答）。

[教师]：实验结束的小组即可将你的摆长数据和周期数据输入到讲台上的电脑中，以作数据处理之用。

下面开始实验。

[学生活动]：实验（教师巡视指导）。

[设计意图]：通过教师实验前的指导，学生迅速进入角色。

[教师]： （输入数据之后）从表格中，我们可以看出，周期增大，摆长是变长的，这与刚才我们进行的定性对比实验的结果是一致的。那么，周期与摆长是否存在最简单的正比关系呢？怎样处理数据能更加直观的获得实验的结论呢？请同学们回忆牛顿第二定律实验中我们在探求加速度与力和质量的关系时，是怎样处理数据的？

[学生]：画图像（齐声回答）。

[教师]：对，我们可以通过画出T-l图像进行直观的判断，若二者是正比关系，则我们画出的T-l图线应该是通过原点的倾斜直线，由于第二大组的同学率先完成实验数据的输入，因此先从他们的数据开始处理，（利用Excel画出T-l图像并投影到大屏幕上）现在大家可以看到该图线（图8），是过原点的倾斜直线吗？

[学生]：不是（齐声回答）。

[教师]：根据T-l的图线弯曲的特点，以及我们数学上学过的幂函数图像的特点， l的幂次应该是大于1还是小于1的正数？

[学生]：小于1（齐声回答）。

[教师]：学习过程中，常遇到的小于1的正数幂次有哪些？

[学生]：是的（齐声回答）。

[教师]：在误差允许的范围内，这些数据点近似处于同一条直线上。

[学生]：正比关系（齐声回答）。

[教师]：这样的话，我们不妨再看看l-T2图像是否也是过原点的直线（利用Excel画出l-T2图像并投影到大屏幕上图10），是过原点的倾斜直线吗？

[学生]：相同（齐声回答）。

[教师]：通过上面同学们的定量实验所获得的实验数据以及通过计算机的数据处理，我们可以断定，单摆的简谐运动周期T与摆长l的平方根是成正比关系的。

[板书]：4.单摆运动周期T与摆长l的关系

[设计意图]：通过数据对比，一方面体现了学生主体参与的公平性，另一方面增强了实验的可信度，同时也为单摆周期公式的得出做好了铺垫。

①简谐运动的振动图像是正余弦曲线，那么，我们如何获得单摆的振动图像？在操作过程中要注意什么？

②在教室中，我们无法定量研究重力加速度与单摆周期的关系，但是我们可以通过单摆的实验测出教室的重力加速度，通过网络查找学校所在位置的重力加速度后进行对比，则可间接证明单摆的周期公式。那么，若想通过单摆测量学校所在处的重力加速度？该如何设计实验方案？实验操作过程中该注意什么？

[设计意图]：布置新的问题，给学生指明主动学习的方向。

[教学反思]：适当改变自己的固有教学模式，创新设计教学内容，或许会改变学生与教师之间的不良循环。

参考文献：

[1]余文森.有效教学的基本策略[M].福州：福建教育出版社，2013.

（栏目编辑 邓 磊）

[教师]：单摆运动过程中角度本应小于5°，为摆动明显，可放宽至10弧度，由此所允许拉离相对平衡位置的最大位移的大小同学们可以根据圆心角、半径、弧长三者的关系式进行估算。10弧度近似等于0.17453，举例说明，例如：摆长为20cm，则可估算出其所允许拉离相对平衡位置的最大位移的大小为3.5cm左右。要注意摆球的运动过程要尽量保证在竖直面内摆动，不要形成圆锥摆。

[教师]：释放摆球后，待摆动几次稳定后再进行计时。可以将平衡位置作为计时起点，当摆球向右经过平衡位置时，数0；再次向右经过平衡位置时，数1，依此类推，当数到30时，立即停止计时，记录总时间并求出周期。

[教师]：为什么我们要记录30次的全振动周期，为什么不只记录1次全振动周期？

[学生]：误差大（齐声回答）。

[教师]：实验结束的小组即可将你的摆长数据和周期数据输入到讲台上的电脑中，以作数据处理之用。

下面开始实验。

[学生活动]：实验（教师巡视指导）。

[设计意图]：通过教师实验前的指导，学生迅速进入角色。

[教师]： （输入数据之后）从表格中，我们可以看出，周期增大，摆长是变长的，这与刚才我们进行的定性对比实验的结果是一致的。那么，周期与摆长是否存在最简单的正比关系呢？怎样处理数据能更加直观的获得实验的结论呢？请同学们回忆牛顿第二定律实验中我们在探求加速度与力和质量的关系时，是怎样处理数据的？

[学生]：画图像（齐声回答）。

[教师]：对，我们可以通过画出T-l图像进行直观的判断，若二者是正比关系，则我们画出的T-l图线应该是通过原点的倾斜直线，由于第二大组的同学率先完成实验数据的输入，因此先从他们的数据开始处理，（利用Excel画出T-l图像并投影到大屏幕上）现在大家可以看到该图线（图8），是过原点的倾斜直线吗？

[学生]：不是（齐声回答）。

[教师]：根据T-l的图线弯曲的特点，以及我们数学上学过的幂函数图像的特点， l的幂次应该是大于1还是小于1的正数？

[学生]：小于1（齐声回答）。

[教师]：学习过程中，常遇到的小于1的正数幂次有哪些？

[学生]：是的（齐声回答）。

[教师]：在误差允许的范围内，这些数据点近似处于同一条直线上。

[学生]：正比关系（齐声回答）。

[教师]：这样的话，我们不妨再看看l-T2图像是否也是过原点的直线（利用Excel画出l-T2图像并投影到大屏幕上图10），是过原点的倾斜直线吗？

[学生]：相同（齐声回答）。

[教师]：通过上面同学们的定量实验所获得的实验数据以及通过计算机的数据处理，我们可以断定，单摆的简谐运动周期T与摆长l的平方根是成正比关系的。

[板书]：4.单摆运动周期T与摆长l的关系

[设计意图]：通过数据对比，一方面体现了学生主体参与的公平性，另一方面增强了实验的可信度，同时也为单摆周期公式的得出做好了铺垫。

①简谐运动的振动图像是正余弦曲线，那么，我们如何获得单摆的振动图像？在操作过程中要注意什么？

②在教室中，我们无法定量研究重力加速度与单摆周期的关系，但是我们可以通过单摆的实验测出教室的重力加速度，通过网络查找学校所在位置的重力加速度后进行对比，则可间接证明单摆的周期公式。那么，若想通过单摆测量学校所在处的重力加速度？该如何设计实验方案？实验操作过程中该注意什么？

[设计意图]：布置新的问题，给学生指明主动学习的方向。

[教学反思]：适当改变自己的固有教学模式，创新设计教学内容，或许会改变学生与教师之间的不良循环。

参考文献：

[1]余文森.有效教学的基本策略[M].福州：福建教育出版社，2013.

（栏目编辑 邓 磊）

[教师]：单摆运动过程中角度本应小于5°，为摆动明显，可放宽至10弧度，由此所允许拉离相对平衡位置的最大位移的大小同学们可以根据圆心角、半径、弧长三者的关系式进行估算。10弧度近似等于0.17453，举例说明，例如：摆长为20cm，则可估算出其所允许拉离相对平衡位置的最大位移的大小为3.5cm左右。要注意摆球的运动过程要尽量保证在竖直面内摆动，不要形成圆锥摆。

[教师]：释放摆球后，待摆动几次稳定后再进行计时。可以将平衡位置作为计时起点，当摆球向右经过平衡位置时，数0；再次向右经过平衡位置时，数1，依此类推，当数到30时，立即停止计时，记录总时间并求出周期。

[教师]：为什么我们要记录30次的全振动周期，为什么不只记录1次全振动周期？

[学生]：误差大（齐声回答）。

[教师]：实验结束的小组即可将你的摆长数据和周期数据输入到讲台上的电脑中，以作数据处理之用。

下面开始实验。

[学生活动]：实验（教师巡视指导）。

[设计意图]：通过教师实验前的指导，学生迅速进入角色。

[教师]： （输入数据之后）从表格中，我们可以看出，周期增大，摆长是变长的，这与刚才我们进行的定性对比实验的结果是一致的。那么，周期与摆长是否存在最简单的正比关系呢？怎样处理数据能更加直观的获得实验的结论呢？请同学们回忆牛顿第二定律实验中我们在探求加速度与力和质量的关系时，是怎样处理数据的？

[学生]：画图像（齐声回答）。

[教师]：对，我们可以通过画出T-l图像进行直观的判断，若二者是正比关系，则我们画出的T-l图线应该是通过原点的倾斜直线，由于第二大组的同学率先完成实验数据的输入，因此先从他们的数据开始处理，（利用Excel画出T-l图像并投影到大屏幕上）现在大家可以看到该图线（图8），是过原点的倾斜直线吗？

[学生]：不是（齐声回答）。

[教师]：根据T-l的图线弯曲的特点，以及我们数学上学过的幂函数图像的特点， l的幂次应该是大于1还是小于1的正数？

[学生]：小于1（齐声回答）。

[教师]：学习过程中，常遇到的小于1的正数幂次有哪些？

[学生]：是的（齐声回答）。

[教师]：在误差允许的范围内，这些数据点近似处于同一条直线上。

[学生]：正比关系（齐声回答）。

[教师]：这样的话，我们不妨再看看l-T2图像是否也是过原点的直线（利用Excel画出l-T2图像并投影到大屏幕上图10），是过原点的倾斜直线吗？

[学生]：相同（齐声回答）。

[教师]：通过上面同学们的定量实验所获得的实验数据以及通过计算机的数据处理，我们可以断定，单摆的简谐运动周期T与摆长l的平方根是成正比关系的。

[板书]：4.单摆运动周期T与摆长l的关系

[设计意图]：通过数据对比，一方面体现了学生主体参与的公平性，另一方面增强了实验的可信度，同时也为单摆周期公式的得出做好了铺垫。

①简谐运动的振动图像是正余弦曲线，那么，我们如何获得单摆的振动图像？在操作过程中要注意什么？

②在教室中，我们无法定量研究重力加速度与单摆周期的关系，但是我们可以通过单摆的实验测出教室的重力加速度，通过网络查找学校所在位置的重力加速度后进行对比，则可间接证明单摆的周期公式。那么，若想通过单摆测量学校所在处的重力加速度？该如何设计实验方案？实验操作过程中该注意什么？

[设计意图]：布置新的问题，给学生指明主动学习的方向。

[教学反思]：适当改变自己的固有教学模式，创新设计教学内容，或许会改变学生与教师之间的不良循环。

参考文献：

[1]余文森.有效教学的基本策略[M].福州：福建教育出版社，2013.

（栏目编辑 邓 磊）